Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1715
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Απρ 18, 2012 12:48 pm

Φανταστείτε δύο τηγανίτες οποιουδήποτε σχήματος, οπουδήποτε στον χώρο, μπορούμε με ένα κόψιμο να τις χωρίσουμε σε δύο ισοεμβαδικά σχήματα, τι λέτε;

Θα γίνω πιο αναλυτικός, έχουμε δυο επίπεδα σχήματα, κυρτά ή μη κυρτά δεν μας ενδιαφέρει, τοποθετημένα στο επίπεδο, οπουδήποτε σε αυτό, γίνεται να κοπούν σε δύο ισοεμβαδικά μέρη το καθ' ένα με ένα γραμμικό κόψιμο;
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Τετ Απρ 18, 2012 1:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10960
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 18, 2012 1:13 pm

"Κόψιμο" είναι και το "σχίσιμο" ?


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1396
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Απρ 18, 2012 3:05 pm

Η απάντηση είναι καταφατική - πρόκειται για (γνωστή) εφαρμογή του Θεωρήματος Bolzano.

Τοποθετούμε τις τηγανίτες \displaystyle{A} και \displaystyle{B} σε ένα κυκλικό τηγάνι κέντρου \displaystyle{O}. Θεωρούμε άξονα \displaystyle{x'x} με αρχή \displaystyle{O}, ο οποίος περιστρέφεται γύρω από το \displaystyle{O} κατά τη θετική φορά. Έστω \displaystyle{\theta } η γωνία που σχηματίζει ο άξονας με την οριζόντια (αρχική) του θέση.

Θεωρούμε τις ευθείες \displaystyle{\ell \left( \theta  \right)} και \displaystyle{m\left( \theta  \right)}, οι οποίες είναι κάθετες στον άξονα \displaystyle{x'x} και διχοτομούν τις τηγανίτες \displaystyle{A} και \displaystyle{B} αντίστοιχα. Οι ευθείες \displaystyle{\ell \left( \theta  \right)} και \displaystyle{m\left( \theta  \right)} τέμνουν τον άξονα \displaystyle{x'x} στα σημεία με τετμημένες \displaystyle{f\left( \theta  \right)} και \displaystyle{g\left( \theta  \right)} αντίστοιχα.

Οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:\left[ {0,\pi } \right] \to \mathbb{R}} είναι συνεχείς, με \displaystyle{f\left( 0 \right) =  - f\left( \pi  \right)} και \displaystyle{g\left( 0 \right) =  - g\left( \pi  \right)}, αφού για \displaystyle{\theta  = 0} και \displaystyle{\theta  = \pi } οι άξονες έχουν αντίθετη φορά, αλλά οι ευθείες που διχοτομούν τις τηγανίτες έχουν την ίδια θέση.

Η συνάρτηση \displaystyle{h = f - g} είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[ {0,\pi } \right]}, με \displaystyle{h\left( 0 \right) =  - h\left( \pi  \right)}, οπότε \displaystyle{h\left( 0 \right) \cdot h\left( \pi  \right) =  - {h^2}\left( 0 \right) \le 0}. Από το Θεώρημα Bolzano, θα υπάρχει γωνία \displaystyle{{\theta _0} \in \left[ {0,\pi } \right]} με \displaystyle{h\left( {{\theta _0}} \right) = 0}, δηλαδή \displaystyle{f\left( {{\theta _0}} \right) = g\left( {{\theta _0}} \right)}. Αυτό όμως σημαίνει ότι οι ευθείες \displaystyle{\ell \left( {{\theta _0}} \right)} και \displaystyle{m\left( {{\theta _0}} \right)} ταυτίζονται και το συμπέρασμα έπεται.

Σημειώνουμε ότι η τρισδιάστατη εκδοχή του παραπάνω προβλήματος, γνωστή και ως Ham Sandwich Theorem, έχει πιο δύσκολη απόδειξη...


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Απρ 18, 2012 10:19 pm

Παρόμοιο εδώ και εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης