mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 18, 2012 12:48 pm**

Φανταστείτε δύο τηγανίτες οποιουδήποτε σχήματος, οπουδήποτε στον χώρο, μπορούμε με ένα κόψιμο να τις χωρίσουμε σε δύο ισοεμβαδικά σχήματα, τι λέτε;

Θα γίνω πιο αναλυτικός, έχουμε δυο επίπεδα σχήματα, κυρτά ή μη κυρτά δεν μας ενδιαφέρει, τοποθετημένα στο επίπεδο, οπουδήποτε σε αυτό, γίνεται να κοπούν σε δύο ισοεμβαδικά μέρη το καθ' ένα με ένα γραμμικό κόψιμο;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 18, 2012 1:13 pm**

"Κόψιμο" είναι και το "σχίσιμο" ?

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 18, 2012 3:05 pm**

Η απάντηση είναι καταφατική - πρόκειται για (γνωστή) εφαρμογή του Θεωρήματος Bolzano.

Τοποθετούμε τις τηγανίτες $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ σε ένα κυκλικό τηγάνι κέντρου $\displaystyle{O}$ . Θεωρούμε άξονα $\displaystyle{x'x}$ με αρχή $\displaystyle{O}$ , ο οποίος περιστρέφεται γύρω από το $\displaystyle{O}$ κατά τη θετική φορά. Έστω $\displaystyle{\theta }$ η γωνία που σχηματίζει ο άξονας με την οριζόντια (αρχική) του θέση.

Θεωρούμε τις ευθείες $\displaystyle{\ell \left( \theta \right)}$ και $\displaystyle{m\left( \theta \right)}$ , οι οποίες είναι κάθετες στον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και διχοτομούν τις τηγανίτες $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα. Οι ευθείες $\displaystyle{\ell \left( \theta \right)}$ και $\displaystyle{m\left( \theta \right)}$ τέμνουν τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ στα σημεία με τετμημένες $\displaystyle{f\left( \theta \right)}$ και $\displaystyle{g\left( \theta \right)}$ αντίστοιχα.

Οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\left[ {0,\pi } \right] \to \mathbb{R}}$ είναι συνεχείς, με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = - f\left( \pi \right)}$ και $\displaystyle{g\left( 0 \right) = - g\left( \pi \right)}$ , αφού για $\displaystyle{\theta = 0}$ και $\displaystyle{\theta = \pi }$ οι άξονες έχουν αντίθετη φορά, αλλά οι ευθείες που διχοτομούν τις τηγανίτες έχουν την ίδια θέση.

Η συνάρτηση $\displaystyle{h = f - g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {0,\pi } \right]}$ , με $\displaystyle{h\left( 0 \right) = - h\left( \pi \right)}$ , οπότε $\displaystyle{h\left( 0 \right) \cdot h\left( \pi \right) = - {h^2}\left( 0 \right) \le 0}$ . Από το Θεώρημα Bolzano, θα υπάρχει γωνία $\displaystyle{{\theta _0} \in \left[ {0,\pi } \right]}$ με $\displaystyle{h\left( {{\theta _0}} \right) = 0}$ , δηλαδή $\displaystyle{f\left( {{\theta _0}} \right) = g\left( {{\theta _0}} \right)}$ . Αυτό όμως σημαίνει ότι οι ευθείες $\displaystyle{\ell \left( {{\theta _0}} \right)}$ και $\displaystyle{m\left( {{\theta _0}} \right)}$ ταυτίζονται και το συμπέρασμα έπεται.

Σημειώνουμε ότι η τρισδιάστατη εκδοχή του παραπάνω προβλήματος, γνωστή και ως Ham Sandwich Theorem, έχει πιο δύσκολη απόδειξη...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 18, 2012 10:19 pm**

Παρόμοιο εδώ και εδώ.

mathematica.gr

Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

Re: Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

Re: Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες

Re: Το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες