Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

#1

Το θέμα για την εξεζητημένη μορφή θεμάτων (ιδίως του 4ου) στις πανελλήνιες εξετάσεις των τελευταίων ετών, μας έχει απασχολήσει και έχει συζητηθεί -εδώ στο mathematica.gr- εκτεταμένως και πολλάκις.
Λοιπόν -όπως λέει και ο τίτλος της δημοσίευσης- σε αυτήν την δημοσίευση καλείσθε να προτείνετε αδημοσίευτες ασκήσεις ή ήδη δημοσιευμένες ασκήσεις -από τις πολλές που έχουν δημοσιευτεί στο mathematica.gr, παραπέμποντας στον αντίστοιχο σύνδεσμο- που θα θεωρούσατε ότι πληρούν τα κριτήρια ενός σωστού θέματος για τις εξετάσεις αυτές.

Να κάνω την αρχή παραπέμποντας στο Συνάρτηση-ολοκλήρωμα που συζητήθηκε πρόσφατα στο mathematica.gr.

Ακόμα μια:
"Υπάρχει συνάρτηση

η οποία είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0\in {\cal{D}}(f)$ και σε κάθε ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)\subset {\cal{D}}(f)$ που περιέχει το x_0

να υπάρχουν σημεία στα οποία η

δεν είναι συνεχής; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

#2

grigkost έγραψε: "Υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0\in {\cal{D}}(f)$ και σε κάθε ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)\subset {\cal{D}}(f)$ που περιέχει το να υπάρχουν σημεία στα οποία η δεν είναι συνεχής; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Η απάντησή μου είναι λάθος. Στην βιασύνη μου παρανάγνωσα την ερώτηση.
Ναι υπάρχει: Παίρνουμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [0,1]

και με $f(0)=2017, \, f(x)=0 , \, 0<x\le 1$ . Για x_0

το $\frac {1}{2}$ ή οποιδήποτε άλλο σημείο στο (0,1)

.

Christos.N · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
grigkost έγραψε: "Υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0\in {\cal{D}}(f)$ και σε κάθε ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)\subset {\cal{D}}(f)$ που περιέχει το να υπάρχουν σημεία στα οποία η δεν είναι συνεχής; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Ναι υπάρχει: Παίρνουμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και με $f(0)=2017, \, f(x)=0 , \, 0<x\le 1$ . Για το $\frac {1}{2}$ ή οποιδήποτε άλλο σημείο στο .

Γιατί αυτό το παράδειγμα το ικανοποιεί; τι δεν βλέπω;

#4

grigkost έγραψε:...Ακόμα μια:
"Υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0\in {\cal{D}}(f)$ και σε κάθε ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)\subset {\cal{D}}(f)$ που περιέχει το να υπάρχουν σημεία στα οποία η δεν είναι συνεχής; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Να καταστήσω σαφές ότι πλήρης μαθηματική τεκμηρίωση στην ερώτηση χρησιμοποιώντας μόνο την Ανάλυση της Γ' λυκείου δεν είναι εφικτή.
Για αυτό και το "Αιτιολογείστε την απάντησή σας".
Με ποιον τρόπο ένας μαθητής Λυκείου θα αντιλαμβάνονταν το πρόβλημα και πώς θα απαντούσε ;

Υ.Γ. Εσείς έχετε κάποια άσκηση-θέμα να προτείνετε ή να παραπέμψετε;

#5

grigkost έγραψε: "Υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0\in {\cal{D}}(f)$ και σε κάθε ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)\subset {\cal{D}}(f)$ που περιέχει το να υπάρχουν σημεία στα οποία η δεν είναι συνεχής; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Η παραπάνω απάντησή μου είναι εσφαλμένη γιατί διάβασα λάθος την εκφώνηση. Βιασύνη γαρ. Στην θέση της δίνω τώρα μία σωστή απάντηση.

Παίρνουμε την συνάρτηση f(x)=x

για

ρητό και

αλλιώς. Επίσης παίρνουμε x_0=0

.

Αφού $|f(x)-f(0)| \le |x|$ , η συνάρτηση είναι συνεχής στο

. Για κάθε άλλο σημείο $a\ne 0$ σε κάθε ανοικτό διάστημα που το περιέχει, υπάρχουν ρητοί και άρρητοι: Πρόκειται για γνωστή και απλή ιδιότητα αλλά είναι εκτός σχολικής ύλης (όπως άλλωστε μας προειδοποίησε ο θεματοθέτης).

Ας πάρουμε την περίπτωση

ρητός (όμοια για άρρητος). Αν

άρρητος τότε

|f(z)-f(a)| = |0-a|=

σταθερός γνήσια θετικός. Συνεπώς η διαφορά |f(z)-f(a)|

δεν γίνεται οσοδήποτε μικρή, παρ' όλο που το |z-a|

μπορεί να γίνει όσο μικρό θέλουμε. Άρα η

είναι ασυνεχής στο

. Και λοιπά.

#6

Για λόγους πληρότητας βάζω την εκφώνηση που νόμιζα ότι διάβασα (αλλά παρανάγνωσα). Στην βιασύνη μου πρόσθεσα λίγες λέξεις, τις οποίες παραθέτω μπλε χρώμα. Από κάτω η αρχική μου λύση, η οποία απαντά στο παραναγνωσθέν.

"Υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0\in {\cal{D}}(f)$ και σε κάθε ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)\subset {\cal{D}}(f)$ που περιέχει το να είναι συνεχής αλλά να υπάρχουν σημεία στα οποία η δεν είναι συνεχής; Αιτιολογείστε την απάντησή σας".

Mihalis_Lambrou έγραψε: Ναι υπάρχει: Παίρνουμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και με $f(0)=2017, \, f(x)=0 , \, 0<x\le 1$ . Για το $\frac {1}{2}$ ή οποιδήποτε άλλο σημείο στο .

M.S.Vovos · #7

Καλησπέρα στο .

Ειλικρινά είμαι απογοητευμένος από το γεγονός ότι δεν υπάρχει συμμετοχή στο εν λόγω θέμα του κ. Κωστάκου! Ποιος είναι ο λόγος αν γκρινιάζουμε για τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων (σωστά πολλές φορές) αν δεν αντι-προτείνουμε ταυτόχρονα; Παρακάτω παρουσιάζω ένα θέμα με ιδέες που έχω πολλές φορές αναδείξει στο mathematica και που θα ήθελα να δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.

Θέμα Δ

Έστω η συνάρτηση

ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ , τέτοια ώστε, η γραφική της παράσταση να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ να ισχύει:
$\displaystyle{e^{f(x)-x}-e^{f(y)-y}\leq 2x\left ( x-y\right )}$ (α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left | e^{f(x)-x}-e^{f(y)-y}-x^{2}+y^{2} \right |\leq \left ( x-y \right )^{2}}$ , για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=e^{f(x)-x}-x^{2}$ , $x\in \mathbb{R}$ είναι σταθερή και στη συνέχεια, να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης

.

Για τα ερωτήματα (γ),(δ) δίνεται ότι: $f(x)=x+\ln \left ( x^{2}+1 \right )$ , $x\in \mathbb{R}$

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι, για κάθε $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}$ ισχύει:
$\displaystyle{-\left | x_{1}-x_{2} \right |\leq \ln\left ( \frac{x_{1}^{2}+1}{x_{2}^{2}+1} \right )\leq \left | x_{1}-x_{2} \right |}$ (γ.ii.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f^{-1}}$ . Στη συνέχεια, να λύσετε την παρακάτω εξίσωση, ως προς $x\in \mathbb{R}$ :
$\displaystyle{f\Big (f(x)+2f^{-1}(x)\Big)=3x+\ln \left ( 9x^{2}+1 \right )}$ (δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1

, αν γνωρίζετε ότι:
$\displaystyle{\int_{-1}^{1}\frac{\textup{d}x}{x^{2}+1}=\frac{\pi }{2}}$ Φιλικά,
Μάριος

Christos.N · #8

Πολύ ωραία Μάριε, θα ήθελα αν δεν σου κάνει κόπο να αναλύσεις τα εξής:

1) Ποια κομμάτια της θεωρίας καλύπτει, ποια θεωρήματα κάνει χρήση;

2) Πως το έχεις συνδέσει με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών;

3) Πόση ώρα υπολογίζεις την επεξεργασία του;

4) Πως κάνεις την διαβάθμιση του και πως θα μοριοδοτήσεις το κάθε ερώτημα.

5) Τι σχέδιο βαθμολόγησης έχεις (προτείνεις) για το κάθε ερώτημα;

#9

M.S.Vovos έγραψε: Παρακάτω παρουσιάζω ένα θέμα με ιδέες που έχω πολλές φορές αναδείξει στο mathematica και που θα ήθελα να δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.[/i]

Αντιθέτως εγώ θα προσευχόμουν να μην πέσει τέτοιο θέμα στις Πανελλαδικές.

Όπως έχω πει πολλές φορές, πρόκειται για μοναδική παγκόσμια πρωτοτυπία απίστευτα εξεζητημένης ασκησιολογίας. Είναι μία θεματική με ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ άκομψες ασκήσεις, που το μόνο που πετυχαίνουν είναι να διώξουν τους μαθητές από το μεγαλείο των Μαθηματικών.

Αν η Πολιτεία δεν κατανοήσει ότι πρέπει να αποφεύγει τέτοιες κακόγουστες ασκήσεις στις Πανελλαδικές, όλο και περισσότερο θα εμφανίζονται ως προτεινόμενες ασκήσεις μιμήσεις
της κακής αυτής οπτικής.

M.S.Vovos · #10

Χρήστο:

1) Όρια - ορισμός παραγωγισιμότητας, μελέτη συνάρτησης - Θ.Μ.Τ., αντίστροφη και επίλυση εξίσωσης, παραγοντική ολοκλήρωση και ιδιότητα ολοκλήρωσης σε άρτια συνάρτηση.

2) Υπάρχει κάτι που δεν αναφέρεται στο πρόγραμμα;

3) 45 - 50 λεπτά

4) (α) Μονάδες 1, (β) Μονάδες 5, (γ.i.) Μονάδες 5, (γ.ii.) Μονάδες 7, (δ) Μονάδες 7

Κ. Μιχάλη

Είναι μέσα από το σχολικό βιβλίο. Άρα το σχολικό είναι σε λάθος κατεύθυνση; Να κάνω και γω μια ερώτηση λοιπόν: Θα μπορούσατε να γράψετε ένα Θέμα Δ που να προτείνετε εσείς;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

M.S.Vovos έγραψε:Χρήστο:

1) Όρια - ορισμός παραγωγισιμότητας, μελέτη συνάρτησης - Θ.Μ.Τ., αντίστροφη και επίλυση εξίσωσης, παραγοντική ολοκλήρωση και ιδιότητα ολοκλήρωσης σε άρτια συνάρτηση.

2) Υπάρχει κάτι που δεν αναφέρεται στο πρόγραμμα;

3) 45 - 50 λεπτά

4) (α) Μονάδες 1, (β) Μονάδες 5, (γ.i.) Μονάδες 5, (γ.ii.) Μονάδες 7, (δ) Μονάδες 7

Κ. Μιχάλη

Είναι μέσα από το σχολικό βιβλίο. Άρα το σχολικό είναι σε λάθος κατεύθυνση; Να κάνω και γω μια ερώτηση λοιπόν: Θα μπορούσατε να γράψετε ένα Θέμα Δ που να προτείνετε εσείς;

Τι είναι μέσα στο σχολικό βιβλίο;
Η μόνη σχέση που έχει με το σχολικό είναι ότι πρέπει να γνωρίζει κάποιος μια άσκηση του σχολικού για να την εφαρμόσει στην
λύση της
Αν αυτό σημαίνει ότι είναι μέσα στο σχολικό τότε μάλλον δεν καταλαβαίνω Ελληνικά και Μαθηματικά.

Συμφωνώ σε όλα που έγραψε ο Μιχάλης Λάμπρου για την άσκηση.

Tolaso J Kos · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε:Αντιθέτως εγώ θα προσευχόμουν να μην πέσει τέτοιο θέμα στις Πανελλαδικές.

Συμφωνώ και επαυξάνω με τα λεγόμενα του κ. Μιχάλη. Δε θα ήθελα σε καμία των περιπτώσεων να δω κάτι τέτοιο που είναι Χριστουγεννιάτικο όπως και αυτό εδώ που έθιξε ο Χρήστος. Τα θεωρώ αν μη τι άλλο εκτρώματα για να το θέσω κόσμια.

Μάριε,

δε ξέρω τι εννοείς τι είναι μέσα στο σχολικό αλλά αυτό το θέμα ουδεμία σχέση , κατ΄ εμέ πάντα, δεν έχει με το σχολικό. Μπορεί η ιδέα να υπάρχει στο σχολικό [ναι το σχολικό έχει αξιόλογες ασκήσεις ειδικά σα γενικές και φυσικά έχει ωραίες ιδέες για στήσιμο ασκήσεων] αλλά αυτό το θέμα ακροβατεί.

M.S.Vovos έγραψε:Ειλικρινά είμαι απογοητευμένος από το γεγονός ότι δεν υπάρχει συμμετοχή στο εν λόγω θέμα του κ. Κωστάκου! Ποιος είναι ο λόγος αν γκρινιάζουμε για τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων (σωστά πολλές φορές) αν δεν αντι-προτείνουμε ταυτόχρονα;

Εμένα πάλι δε με ανησυχεί καθόλου. Είμαστε στη τελική ευθεία λίγες μέρες πριν τις εξετάσεις. Καλύτερα ο διάλογος αυτός να ανοίξει κάποια άλλη στιγμή π.χ Σεπτέμβριο όταν το όλο φόρτο των εξετάσεων θα έχει περάσει και η κατάσταση θα έχει ηρεμήσει κάπως. Βέβαια ο Γρηγόρης καλά έκανε και το άνοιξε αλλά αυτή τη στιγμή νιώθω πως μόνο κακό θα έκανε η κουβέντα ιδίως στους μαθητές που παρακολουθούν το

και στους οποίους υπάρχει μία συναισθηματική φόρτιση.

Εντελώς φιλικά τα παραπάνω. Ζητώ συγνώμη αν δεν απαντήσω εγκαίρως αλλά είμαι εκτός έδρας. Καλό βράδυ.

#13

Tolaso J Kos έγραψε:...Καλύτερα ο διάλογος αυτός να ανοίξει κάποια άλλη στιγμή π.χ Σεπτέμβριο ...Αυτή τη στιγμή μόνο κακό θα έκανε η κουβέντα ιδίως στους μαθητές που παρακολουθούν το και στους οποίους υπάρχει μία συναισθηματική φόρτιση. ...

Τόλη, πως μπορεί, ανά πάσα στιγμή, να κάνει κακό μια συζήτηση για την πραγματική φύση των Μαθηματικών (επομένως και των εξετάσεων σε αυτά) ; Άσε που νομίζω ότι υποτιμάς τους μαθητές!

Ακόμα μια άσκηση:

Υπάρχει 1-1 παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ και πεδίο τιμών το (-1,1)

; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

Υ.Γ. Δεν είναι υγιέστερο -αν και ποιο δύσκολο- να προτείνουμε ασκήσεις που κρίνουμε κατάλληλες για εξετάσεις -όχι κατ' ανάγκη τις επερχόμενες, αλλά αυτού του επιπέδου- από το να κρίνουμε αυτές που "κυκλοφορούν"; Εκ τούτου και ο τίτλος "Αμ΄ έπος αμ΄ έργον".

edit:11:32 Την δυσκόλεψα κάπως προσθέτοντας το "παντού παραγωγίσιμη".

Tolaso J Kos · #14

grigkost έγραψε:
Υπάρχει 1-1 παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ και πεδίο τιμών το ; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

Ναι υπάρχει. Έστω $f(x)= \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \; , \; x \in (-1, 1)$ . Η

είναι γνήσια αύξουσα , με πεδίο τιμών το $\mathbb{R}$ . Συνεπώς ως γνήσια αύξουσα είναι 1-1

άρα ορίζει αντίστροφη. Η αντίστροφη είναι η συνάρτηση που ψάχνουμε η οποία είναι παντού παραγωγίσιμη. Απόδειξη εντός λυκείου ; Έχω μία αλλά μάλλον ξεφεύγει του πνεύματος.

Έχω και άλλα παραδείγματα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

grigkost έγραψε: Ακόμα μια άσκηση:

Υπάρχει 1-1 παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ και πεδίο τιμών το ; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

Υ.Γ. Δεν είναι υγιέστερο -αν και ποιο δύσκολο- να προτείνουμε ασκήσεις που κρίνουμε κατάλληλες για εξετάσεις -όχι κατ' ανάγκη τις επερχόμενες, αλλά αυτού του επιπέδου- από το να κρίνουμε αυτές που "κυκλοφορούν"; Εκ τούτου και ο τίτλος "Αμ΄ έπος αμ΄ έργον".

edit:11:32 Την δυσκόλεψα κάπως προσθέτοντας το "παντού παραγωγίσιμη".

Καλημέρα Γρηγόρη.
Με τα σημερινά δεδομένα η άσκηση είναι ακατάλληλη.
Αλλά κατά την γνώμη μου σε τέτοιου είδους ασκήσεις θα έπρεπε να εξετάζονται οι μαθητές.
Αυτό γιατί έτσι μπορείς να καταλάβεις αν κάποιος έχει κατανοήσει τις έννοιες.

Γράφω την λύση.
Σκεφτόμαστε ότι ένα ανοικτό διάστημα μπορούμε να το πάμε στο (-1,1)

με γραμμική συνάρτηση.

Εστω το (a,b)

Θέλουμε $h:(a,b)\rightarrow (-1,1)$

1-1 και επί που να έχει την μορφή h(x)=rx+p

Προσδιορίζουμε τα r,p

από τις σχέσεις h(a)=-1,h(b)=1

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε $h(x)=\dfrac{2x}{b-a}-\dfrac{a+b}{b-a}$

Ετσι θέλουμε συνάρτηση που πάει το $\mathbb{R}$ σε πεπερασμένο ανοικτό διάστημα.

Τέτοιες υπάρχουν πολλές.Μια από αυτές είναι

$g:\mathbb{R}\rightarrow (0,1)$

με $g(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$

Η $f(x)=2g(x)-1=\dfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$

είναι η ζητούμενη.

Εύκολα μπορεί να το τσεκάρει ένας μαθητής βρίσκοντας την παράγωγο και το πεδίο τιμών.

#16

Εμένα πολύ μου άρεσε αυτό!

#17

grigkost έγραψε:Ακόμα μια άσκηση:

Υπάρχει 1-1 παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ και πεδίο τιμών το ; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

Μετά την πολύ όμορφη προσέγγιση του Σταύρου, ακόμα μία:

Η συνάρτηση $f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\,,\quad x\in(-1,1)\,,$

είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο (-1,1)

με πεδίο τιμών το $\mathbb{R}$ .
Επομένως αντιστρέφεται και, εύκολα, βρίσκουμε* ότι η αντίστροφή της

$f^{-1}(x)=\begin{cases} \dfrac{-1+\sqrt{1+x^2}}{x}\,,& x\neq 0 \\ 0\,,& x=0\end{cases}$

είναι 1-1, παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με πεδίο τιμών το (-1,1)

.

(*) προσοχή στην επιλογή της λύσης της εξίσωσης y=f(x)

!

#18

grigkost έγραψε:..Υπάρχει 1-1 παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ και πεδίο τιμών το ; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της...

Ας την δυσκολέψουμε λίγο:

Έστω

τυχών αλλά πάγιος θετικός πραγματικός, Υπάρχει 1-1, παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ με πεδίο τιμών το (-1,1)

και τέτοια ώστε, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , να ισχύει $|f'(x)|\leqslant m$ ; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

edit: 12:26 Βελτιώθηκε η διατύπωση της άσκησης.

#19

grigkost έγραψε: Υπάρχει 1-1 παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ και πεδίο τιμών το ; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

Άλλη κατάλληλη πέρα από τις δύο που δόθηκαν είναι η $f(x) = \frac {x}{1+|x|}$ . To μόνο ουσιαστικό που χρειάζεται έλεγχο είναι η παραγωγισιμότητα στο

, αλλά εύκολα βγαίνει από τον ορισμό της παραγώγου ότι f'(0)=1

.

#20

grigkost έγραψε: Υπάρχει 1-1, παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ με πεδίο τιμών το και τέτοια ώστε, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , να ισχύει $|f'(x)|\leqslant m$ , όπου τυχών αλλά πάγιος θετικός πραγματικός; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

H έξτρα ερώτηση μπήκε όσο έγραφα την προηγούμενη απάντησή μου.

Από σύμπτωση η συνάρτηση που έδωσα ικανοποιεί και την έξτρα συνθήκη, με m=1

. Π.χ. για x>0

είναι $f'(x) = \frac {1}{(x+1)^2} < 1$ . Όμοια για x<0

(άλλωστε έχουμε συμμετρία).

Edit: Συμπληρώνω μετά από μήνυμα που έλαβα από τον Γρηγόρη. Η ερώτηση που θέτει είναι αν υπάρχει

για όλες τις συναρήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες. Η απάντηση είναι όχι, με παραλλαγή του προηγουμένου: Η $f(x) = \frac {cx} {1+c|x|}$ όπου c>0

ικανοποιεί τα ζητούμενα αλλά επειδή f'(0) =c

, δείχνει ότι δεν μπορεί η παράγωγος όλων των υποψήφιων συναρτήσεων να είναι φραγμένη.

Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Μέλη σε σύνδεση