Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο

Συντονιστής: spyros

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιουν 15, 2017 1:43 pm

Έστω ABC ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο P στον περιγεγραμμένο κύκλο του. Ορίζουμε S_n (P)= PA^n+PB^n+PC^n, όπου n ακέραιος.

i) Αν n=1 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης S_n (P).
ii) Αν n=-1 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης S_n (P).
iii) Αν n=-2 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης S_n (P).
iv) Για ποιες τιμές του n\in \Bbb{Z}_{>0}, η παράσταση S_n (P) είναι σταθερή;
v) Προσθέστε...


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Πέμ Ιουν 15, 2017 3:55 pm

Το iv αποτελούσε το 3ο πρόβλημα στην φετινή μεσογειάδα οπότε αναρτώ την λύση μου.
Αρχικά επιλέγουμε P\equiv C. Έτσι αν a είναι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου τότε S_n(P)=2a^n.
Μετά επιλέγουμε το P να βρίσκεται στο μέσο τόξου BC. Έτσι έχουμε: S_n(P)=(2+2^n)(\frac{a}{\sqrt3})^n.
Οπότε εξισώνοντας τις 2 σχέσεις προκύπτει ότι:n=2 ή n=4. Οι 2 λύσεις είναι δεκτές διότι από το θεώρημα Van Schooten, αν
επιλέξουμε τυχαίο σημείο P στο τόξο BCτότε PB+PC=PA.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 08, 2020 2:54 pm

Επαναφορά!!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 735
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Απρ 09, 2020 5:47 pm

socrates έγραψε:
Πέμ Ιουν 15, 2017 1:43 pm
Έστω ABC ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο P στον περιγεγραμμένο κύκλο του. Ορίζουμε S_n (P)= PA^n+PB^n+PC^n, όπου n ακέραιος.

i) Αν n=1 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης S_n (P).
ii) Αν n=-1 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης S_n (P).
iii) Αν n=-2 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης S_n (P).
iv) Για ποιες τιμές του n\in \Bbb{Z}_{>0}, η παράσταση S_n (P) είναι σταθερή;
v) Προσθέστε...
Κάνω τα πρώτα τρία.
Χωρίς βλάβη θεωρώ ότι το \rm P ανήκει στο μικρό τόξο \rm BC
i) Είναι \rm S_1(P)=PA+PB+PC.Από \rm Van \,\,\,Schooten είναι \rm PB+PC=PA άρα \rm S_1(P)=2AP.
Επειδή \rm \angle PBA=60^{\circ}+\angle PBC\geq 60^{\circ}=\rm \angle APB \Leftrightarrow AP\geq AB έπεται πως αν \rm M το μέσο του μικρού τόξου \rm BC είναι \rm S_1(P)_{max}=S_1(M)=2\cdot \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3} και \rm S_1(P)_{min}=S_1(B)=S_1(C)=2a όπου \rm a η πλευρά του τριγώνου.
ii)Είναι \rm S_{-1}(P)=\dfrac{1}{AP}+\dfrac{1}{BP}+\dfrac{1}{CP}=\dfrac{PA(PB+PC)+PC\cdot PB}{PA(PB\cdotPC)}.
Από το δεύτερο θεώρημα Πτολεμαίου στο \rm ABPC είναι \rm \dfrac{AP}{a}=\dfrac{PB\cdot PC+a^2}{a\cdot BP+a\cdot PC} \Leftrightarrow PB\cdot PC=AP^2-a^2
Είναι λοιπόν \rm S_{-1}(P)=\dfrac{1}{AP}+\dfrac{AP}{AP^2-a^2}.
Θα δείξω πως αν \rm P' στο περίκυκλο ώστε \rm AP'\geq AP τότε \rm S_{-1}(P')\leq S_{-1}(P).
Πράγματι θα είναι \rm AP'\geq AP\Leftrightarrow \dfrac{1}{AP'}\leq \dfrac{1}{AP} οπότε αρκεί \rm \dfrac{AP}{AP^2-a^2}\geq \dfrac{AP'}{AP'^2-a^2}\Leftrightarrow AP\cdot AP'(AP-AP')\leq a^2(AP'-AP) που ισχύει αφού το αριστερό είναι αρνητικό ενώ το δεξί θετικό.Άρα \rm S_{-1}(P)_{max}=S_{-1}(B) το οποίο δεν ορίζεται άρα δεν παίρνει μέγιστη τιμή.Παίρνει όμως ελάχιστη αφού \rm S_{-1}(P)\geq S_{-1}(M)=..=\dfrac{5\sqrt{3}}{2a}
iii)
\rm S_{-2}(P)=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{CP^2}+\dfrac{1}{BP^2}=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{(PB+PC)^2-2PB\cdot PC}{PB\cdot PC}=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{AP^2-2AP^2+2a^2}{(AP^2-a^2)^2}=
\rm =\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{2a^2-AP^2}{(AP^2-a^2)^2}
Όπως πριν βρίσκουμε πως η παραπάνω συνάρτηση είναι φθίνουσα και έτσι \rm S_{-2}(P)_{max}=S_{-2}(B) το οποίο πάλι δεν ορίζεται άρα δεν παίρνει μέγιστη τιμή.Η ελάχιστη θα είναι \rm S_{-2}(P)_{min}=S_{-2}(M)=..=\dfrac{27}{4a^2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης