Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

ΗρακληςΕυαγγελινος · #1

Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3
Ένας άλλος (ανορθόδοξος) τρόπος επίλυσης

1) Να λυθεί το σύστημα εξισώσεων:
$\begin{cases} 2\chi -y + z = -1 \quad \quad(1) & \\ \chi - y + 2z = -3 \quad \quad (2) & \\ \chi + y - 2z = 1 \quad \quad \quad (3) \end{cases}$

Λύση
Μεταξύ των (1), (2) απαλοίφω τον σταθερό όρο. Στη συνέχεια μεταξύ των (2), (3) απαλοίφω πάλι τον σταθερό όρο και έχω:

$\left.\begin{matrix} 2\chi -y + z = -1 \\ \\\\ \chi - y + 2z = -3 \end{matrix}\right|\begin{matrix} -3\\ \\ \\ \\ \end{matrix} \Rightarrow \quad \begin{matrix} -6\chi +3y - 3z = 3 \\ \chi - y + 2z = -3 \\ \rule{0.3\textwidth}{.4pt}\\ -5\chi+2y-z=0 \quad \quad (4)\\ \end{matrix}$

$\left.\begin{matrix} \chi - y + 2z = -3 \\ \\\\ \chi + y - 2z = 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} \\ \\ \\ 3\\ \end{matrix} \Rightarrow \quad \quad \begin{matrix} \chi - y + 2z = -3 \\ 3\chi + 3y - 6z = 3 \\ \rule{0.3\textwidth}{.4pt}\\ 4\chi+2y-4z=0 \quad \quad (5)\\ \end{matrix}$

Απλοποιώ την (5) με 2 και έχω: $2\chi+y-2z=0 \quad \quad (5)\\$

Στο σύστημα:

$\begin{cases} 2\chi -y + z = -1 \qquad \quad(1) & \\ -5\chi +2y - z = 0 \quad \quad (4) & \\ 2\chi + y - 2z = 0 \quad \quad \quad (5) \end{cases}$

οι δύο εξισώσεις είναι ομογενείς, επομένως, λυόμενο με τη σχετική θεωρία, έχω:

$\frac{\chi}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -2 \end{vmatrix}} =\frac{y}{\begin{vmatrix} -1 & -5\\ -2 & 2 \end{vmatrix}} =\frac{z}{\begin{vmatrix} -5 & 2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}} \Leftrightarrow \frac{\chi}{-4+1}=\frac{y}{-2-10}=\frac{z}{-5-4} \Leftrightarrow \frac{\chi}{-3}=\frac{y}{-12}=\frac{z}{-9}$

Απλοποιώ τους παρονομαστές με -3 και έχω:
$\frac{\chi}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=t \Rightarrow \chi=t, y=4t, z=3t \qquad \qquad(6)$

Αντικαθιστώ στην (1) και έχω:

$2t-4t+3t=-1 \Rightarrow t=-1$

Αντικαθιστώ στις (6) και έχω:

$\chi=-1, y=-4, z=-3$

#2

Kάποιες παρατηρήσεις
Τα συστήματα , εδώ και αρκετά χρόνια διδάσκονται στη Β΄Λυκείου
Τα ομογενή δεν είναι στην ύλη
Δεν γνωρίζουν τη σχετική θεωρία

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Να κάνω και την κανονική λύση.

Η (1) γράφεται $x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=-\frac{1}{2}$

αφαιρώντας από τις (2),(3) το σύστημα γίνεται.

2x-y+z=-1 (1)

$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}z=-\frac{5}{2}(2')$

$\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}z=\frac{3}{2}(3')$

Η (2') γράφεται $-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}z=-\frac{15}{2}(2')$

προσθέτοντας στη (3') το σύστημα γίνεται

2x-y+z=-1 (1)

$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}z=-\frac{5}{2}(2')$

2z=-6(3'')

Από (3'') παίρνουμε z=-3

Αντικαθιστώντας στην (2') y=-4

και τέλος η (1) δίνει x=-1

#4

Ας δούμε και τη μέθοδο των οριζουσών: $\displaystyle x = \frac{{{D_x}}}{D},y = \frac{{{D_y}}}{D},z = \frac{{{D_y}}}{D}.$

Είναι $\displaystyle D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{{\rm{ }}1}\\ 1&{ - 1}&{{\rm{ }}2}\\ 1&{{\rm{ }}1}&{ - 2} \end{array}} \right|,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&{{\rm{ }}1}\\ { - 3}&{ - 1}&{{\rm{ }}2}\\ 1&{{\rm{ }}1}&{ - 2} \end{array}} \right|,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{{\rm{ }}1}\\ 1&{ - 3}&{{\rm{ }}2}\\ 1&{{\rm{ }}1}&{ - 2} \end{array}} \right|,{D_z} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{{\rm{ }} - 1}\\ 1&{ - 1}&{{\rm{ }} - {\rm{3}}}\\ 1&{{\rm{ }}1}&1 \end{array}} \right|$

Υπολογίζω την

με τον κανόνα του Sarrus.

$\displaystyle D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{{\rm{ }}1}\\ 1&{ - 1}&{{\rm{ }}2}\\ 1&{{\rm{ }}1}&{ - 2} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1\\ 1 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ { - 1}\\ {{\rm{ }}1} \end{array} = 4 - 2 + 1 - 2 - 4 + 1 = - 2$

Ομοίως βρίσκω $\displaystyle {D_x} = 2,{D_y} = 8,{D_z} = 6 \Rightarrow$ $\boxed{(x,y,z)=(-1, -4, -3)}$

#5

Με επαυξημένο τίποτα;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

xr.tsif έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 12:36 pm
Με επαυξημένο τίποτα;

Χρήστο η λύση που έγραψα είναι στην ουσία με τον επαυξημένο πίνακα.
Αντί σε κάθε βήμα να γράφω τον πίνακα έγραφα τις τρεις εξισώσεις.
Εκανα απαλοιφή Gauss ακριβώς όπως θα έκανε ένας υπολογιστής.

S.E.Louridas · #7

Πάντως αν προσθέσουμε τις (2), (3)

βρίσκουμε

, οπότε ...

#8

με αντίστροφο;

Christos.N · #9

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 1&{ - 1}&2\\ 1&1&{ - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\ { - 2}&{\frac{5}{2}}&{\frac{3}{2}}\\ { - 1}&{\frac{3}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 1&{ - 1}&2\\ 1&1&{ - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\ { - 2}&{\frac{5}{2}}&{\frac{3}{2}}\\ { - 1}&{\frac{3}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ { - 4}\\ { - 3} \end{array}} \right)$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Re: Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3

Μέλη σε σύνδεση