4 ελλείψεις μέσα σε ρόμβο
Συντονιστής: spyros
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
4 ελλείψεις μέσα σε ρόμβο
Σε ρόμβο με πλευρές μήκους και , εγγράφουμε τέσσερεις ίσες ελλείψεις και , έτσι ώστε κάθε μια έλλειψη να έχει τις εστίες της επί ευθείας κάθετης στον άξονα , να εφάπτεται στις πλευρές του ρόμβου και οι ελλείψεις να εφάπτονται εξωτερικά και στην έλλειψη και στην έλλειψη . Επίσης, καμία έλλειψη δεν τέμνει κάποια άλλη σε δυο σημεία. (Σχήμα)
i) Να βρεθεί η εκκεντρότητα των ελλείψεων.
ii) Με την υπόθεση ότι οι ελλείψεις είναι ίσες, με εκκεντρότητα και οι ελλείψεις είναι ίσες, με εκκεντρότητα , χωρίς απαραίτητα οι τέσσερεις ελλείψεις να είναι όλες ίσες, να βρεθεί ποιος πρέπει να είναι ο λόγος , ώστε το εμβαδόν των χωρίων που περικλείουν οι τέσσερεις ελλείψεις να είναι το μέγιστο και ποιος πρέπει να είναι ο λόγος , ώστε το εμβαδόν των χωρίων που περικλείουν οι τέσσερεις ελλείψεις να είναι το ελάχιστο.
Σημείωση: Δεν έχω πλήρη λύση για το ερώτημα ii).
i) Να βρεθεί η εκκεντρότητα των ελλείψεων.
ii) Με την υπόθεση ότι οι ελλείψεις είναι ίσες, με εκκεντρότητα και οι ελλείψεις είναι ίσες, με εκκεντρότητα , χωρίς απαραίτητα οι τέσσερεις ελλείψεις να είναι όλες ίσες, να βρεθεί ποιος πρέπει να είναι ο λόγος , ώστε το εμβαδόν των χωρίων που περικλείουν οι τέσσερεις ελλείψεις να είναι το μέγιστο και ποιος πρέπει να είναι ο λόγος , ώστε το εμβαδόν των χωρίων που περικλείουν οι τέσσερεις ελλείψεις να είναι το ελάχιστο.
Σημείωση: Δεν έχω πλήρη λύση για το ερώτημα ii).
Λέξεις Κλειδιά:
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: 4 ελλείψεις μέσα σε ρόμβο
Παραθέτω την (ημιτελή) λύση:
Σημείωση: Επέλεξα την δημοσίευση σε αυτόν τον φάκελο μιας και δεν είχα λύση με ύλη των διαγωνισμών seniors. Αλλά με χαρά θα έβλεπα μια απόδειξη του μη-αποδειγμένου συμπεράσματος μέσω ανισοτήτων. Αν αυτό είναι εφικτό.
- Αρκεί να "τεντώσουμε" την οριζόντια διαγώνιο του ρόμβου ώστε ο ρόμβος να γίνει τετράγωνο και οι ελλείψεις γίνονται κύκλοι (εκκεντρότητα ίση με ). Η εκκεντρότητα των ελλείψεων ισούται με , όπου ο μεγάλος ημιάξονας και ο μικρός ημιάξονας. Όμως
Άρα . - Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί στο τετράγωνο που προκύπτει από το "τέντωμα" (και την στροφή κατά ) του ρόμβου, αφού αυτό που, ουσιαστικά, θέλουμε είναι η σχέση των ακτίνων των διακριτών κύκλων ώστε το εμβαδόν των χωρίων που περικλείουν οι τέσσερεις κύκλοι να είναι το μέγιστο (αντίστοιχα ελάχιστο).
Αν και είναι οι ακτίνες των κύκλων και , αντίστοιχα, τότε,
επειδή κανένας κύκλος δεν τέμνει κάποιον άλλον σε δυο σημεία, για την μέγιστη τιμή της ακτίνας , από την ισότητα των λόγων προκύπτει
ενώ, επειδή οι κύκλοι πρέπει να εφάπτονται, η ελάχιστη δυνατή τιμή της ακτίνας είναι . Επιπλέον, από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο , πρέπει να ισχύει η συνθήκη
Επομένως αναζητούμε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης
υπό την συνθήκη .
Δεν υπάρχουν τοπικά ακρότατα στο εσωτερικό του (από πολλαπλασιαστές Lagrange). Επομένως αυτά πρέπει να αναζητηθούν στο σύνορο του (αυτά υπάρχουν αφού η είναι συνεχής και το συμπαγές.) Μένει να αποδειχθεί ότι το ελάχιστο εμβαδόν προκύπτει στο και το μέγιστο στα σημεία και .
Τελικά, για έχουμε το μέγιστο εμβαδόν πρέπει
(ή τον αντίστροφο αριθμό), ενώ για έχουμε το ελάχιστο εμβαδόν πρέπει
Σημείωση: Επέλεξα την δημοσίευση σε αυτόν τον φάκελο μιας και δεν είχα λύση με ύλη των διαγωνισμών seniors. Αλλά με χαρά θα έβλεπα μια απόδειξη του μη-αποδειγμένου συμπεράσματος μέσω ανισοτήτων. Αν αυτό είναι εφικτό.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες