Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Κώστας Καρκαλέμης · #1

Στο βιβλίο που διαβάζω ο συγγραφέας γράφει μια σημαντίκη εξίσωση και αναφέρει πως προκύπτει αν αναπτύξεις την δεξιά πλευρά μίας προηγούμενης εξίσωσης σε δυναμοσειρά της μεταβλητής e αλλά δεν μπορώ να καταλάβω πως γίνεται. Θα το εκτιμούσα αν κάποιος μπορούσε να μου το εξηγήσει.

#2

Καλώ ήλθες στο φίρουμ.

Εκτενής υπόδειξη για την άσκηση: Από τον τύπο $\dfrac {1} {1+a}=1-a+a^2-a^3+...$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {1-e^2} {1+e\cos (\theta -\theta _o) }=(1-e^2) ( 1- e\cos (\theta -\theta _o) + e^2\cos ^2(\theta -\theta _o)- e^3\cos ^3 (\theta -\theta _o)+...)$

Πολλαπλασίασε και μάζεψε τους όρους που εμφανίζουν το e^n

(είναι δύο). O συντελεστής αυτού θα είναι κάποιο πρόσημο επί $\cos ^n(\theta -\theta _o) - \cos ^{n-2} (\theta -\theta _o)$ . Βγάλε κοινό παράγοντα και μετά κάνε χρήση του $1-\cos ^2(\theta -\theta _o) = \sin ^2(\theta -\theta _o) }$ .

Συνέχισε. Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου, με συμπληρωμένες τις λεπτομέρειες που άφησα.

Κώστας Καρκαλέμης · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 13, 2023 1:06 am
Καλώ ήλθες στο φίρουμ.

Εκτενής υπόδειξη για την άσκηση: Από τον τύπο $\dfrac {1} {1+a}=1-a+a^2-a^3+...$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {1-e^2} {1+e\cos (\theta -\theta _o) }=(1-e^2) ( 1- e\cos (\theta -\theta _o) + e^2\cos ^2(\theta -\theta _o)- e^3\cos ^3 (\theta -\theta _o)+...)$

Πολλαπλασίασε και μάζεψε τους όρους που εμφανίζουν το (είναι δύο). O συντελεστής αυτού θα είναι κάποιο πρόσημο επί $\cos ^n(\theta -\theta _o) - \cos ^{n-2} (\theta -\theta _o)$ . Βγάλε κοινό παράγοντα και μετά κάνε χρήση του $1-\cos ^2(\theta -\theta _o) = \sin ^2(\theta -\theta _o) }$ .

Συνέχισε. Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου, με συμπληρωμένες τις λεπτομέρειες που άφησα.

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την βοήθεια! Μετά ήταν εύκολο να λυθεί και δεν ξέρω πως δεν το είχα σκεφτεί αυτό.
Αρχικά, συνεχίζοντας την λύση $\displaystyle{\dfrac{1-e^2} {1+e\cos(\theta -\theta_o)}=1-e^2-e\cos(\theta -\theta_o)+e^3\cos(\theta -\theta_o)+e^2\cos^2(\theta -\theta_o)-e^4\cos^2(\theta -\theta_o)-e^3\cos^3(\theta -\theta_o) +...$
Άρα $1-e\cos(\psi)=1-e\cos(\theta -\theta_o)-e^2\sin^2(\theta -\theta_o)+e^3\cos(\theta -\theta_o)\sin^2(\theta -\theta_o) +...$ και τελικά προκύπτει $\cos(\psi)=\cos(\theta -\theta_o)+e\sin^2(\theta -\theta_o)-e^2\cos(\theta -\theta_o)\sin^2(\theta -\theta_o) +...$ (1)

Τώρα όσον αφορά στην επόμενη εξίσωση ο συγγραφέας συνεχίζει λέγοντας πως η σχέση (1) ισοδυναμεί με την ακόλουθη σχέση:
$\psi=(\theta -\theta_o)-e\sin(\theta -\theta_o)+\displaystyle{\dfrac {1} {4} e^2\sin2(\theta -\theta_o) +...$ (2)
Δεν μπορώ να καταλάβω πως βγάζει την (2) και θα το εκτιμούσα αν μου το εξηγούσατε.

#4

Χμμμμ. Οι κανονισμοί μας απαγορεύουν ρητά (και ορθότατα) τα χειρόγραφα σημειώματα. Γράψε σε παρακαλώ το κείμενό σου σε latex (όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας), και συνεχίζουμε. Υπόψη, αν τα κείμενα δεν ακολουθούν τις προδιαγραφές του φόρουμ, έχουν κίνδυνο να σβηστούν από τους Γενικούς Συντονιστές (μαζί με αυτά και οι απαντήσεις που απορρέουν). Είμαι βέβαιος ότι μέχρι τώρα έδειξαν κατανόηση επείδή είσαι καινούργιος και καλοδεχούμενος στο φόρουμ.

Κώστας Καρκαλέμης · #5

Εντάξει, θα το διορθώσω σε λίγο καθώς δεν έχω πολύ χρόνο αυτήν την στιγμή.

Κώστας Καρκαλέμης · #6

Διόρθωσα μόλις την απάντηση μου, που περιείχε την ερώτηση αλλά και την λύση στο προήγουμενο ερώτημα μου.

#7

Κώστας Καρκαλέμης έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 13, 2023 10:40 am
$\cos(\psi)=\cos(\theta -\theta_o)+e\sin^2(\theta -\theta_o)-e^2\cos(\theta -\theta_o)\sin^2(\theta -\theta_o) +...$ (1)

Τώρα όσον αφορά στην επόμενη εξίσωση ο συγγραφέας συνεχίζει λέγοντας πως η σχέση (1) ισοδυναμεί με την ακόλουθη σχέση:
$\psi=(\theta -\theta_o)-e\sin(\theta -\theta_o)+\displaystyle{\dfrac {1} {4} e^2\sin2(\theta -\theta_o) +...$ (2)
Δεν μπορώ να καταλάβω πως βγάζει την (2) και θα το εκτιμούσα αν μου το εξηγούσατε.

Ευχαριστώ για την μεταφορά του κειμένου από εικόνα σε latex.

Επί της ουσίας τώρα.

Δεν είμαι βέβαιος ότι μεταφέρεις απολύτως σωστά το κείμενο της πηγής σου: Όταν ήταν ακόμα σε μορφή εικόνας φαινόταν σε μία γωνίτσα (μισοσκεπασμένο) ότι παρέπεμπε σε εξισώσεις Newton. Δηλαδή φαίνεται ότι το κείμενο δεν λέει ότι η (2) είναι άμεση απόρροια της (1) αλλά βγαίνει από αντικατάστασή της σε κάποια εξίσωση. Θα σε παρακαλέσω να δεις τι ακριβώς λέει το κείμενο, και μετά θα το κοιτάξω μήπως έχω κάποια ιδέα. Επίσης δες αν υπάρχουν χαρακτηρισμοί του $\psi$ όπως "μικρό" ή "περίπου $\pi /2$ , που δίνουν άλλη διάσταση στο θέμα. Π.χ. το πρώτο έχει ως συνέπεια $\psi \approx (2-2\cos \psi ) ^{1/2}$ .

Κώστας Καρκαλέμης · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 13, 2023 7:18 pm

Κώστας Καρκαλέμης έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 13, 2023 10:40 am
$\cos(\psi)=\cos(\theta -\theta_o)+e\sin^2(\theta -\theta_o)-e^2\cos(\theta -\theta_o)\sin^2(\theta -\theta_o) +...$ (1)

Τώρα όσον αφορά στην επόμενη εξίσωση ο συγγραφέας συνεχίζει λέγοντας πως η σχέση (1) ισοδυναμεί με την ακόλουθη σχέση:
$\psi=(\theta -\theta_o)-e\sin(\theta -\theta_o)+\displaystyle{\dfrac {1} {4} e^2\sin2(\theta -\theta_o) +...$ (2)
Δεν μπορώ να καταλάβω πως βγάζει την (2) και θα το εκτιμούσα αν μου το εξηγούσατε.
Ευχαριστώ για την μεταφορά του κειμένου από εικόνα σε latex.

Επί της ουσίας τώρα.

Δεν είμαι βέβαιος ότι μεταφέρεις απολύτως σωστά το κείμενο της πηγής σου: Όταν ήταν ακόμα σε μορφή εικόνας φαινόταν σε μία γωνίτσα (μισοσκεπασμένο) ότι παρέπεμπε σε εξισώσεις Newton. Δηλαδή φαίνεται ότι το κείμενο δεν λέει ότι η (2) είναι άμεση απόρροια της (1) αλλά βγαίνει από αντικατάστασή της σε κάποια εξίσωση. Θα σε παρακαλέσω να δεις τι ακριβώς λέει το κείμενο, και μετά θα το κοιτάξω μήπως έχω κάποια ιδέα. Επίσης δες αν υπάρχουν χαρακτηρισμοί του $\psi$ όπως "μικρό" ή "περίπου $\pi /2$ , που δίνουν άλλη διάσταση στο θέμα. Π.χ. το πρώτο έχει ως συνέπεια $\psi \approx (2-2\cos \psi ) ^{1/2}$ .

Το βιβλίο γράφει την (1) και αμέσως μετά λέγοντας "which yields" γράφει την (2). Δεν πιστεύω πως χρησιμοποιεί κάποια προσέγγιση όπως είπατε και ο συγγραφεάς αναφέρει πάντοτε, από ό,τι έχω δει, ότι μία εξίσωση αποτελεί απόρροια κάποιας αντικατάστασης.

#9

Κώστας Καρκαλέμης έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 13, 2023 10:13 pm
Το βιβλίο γράφει την (1) και αμέσως μετά λέγοντας "which yields" γράφει την (2). Δεν πιστεύω πως χρησιμοποιεί κάποια προσέγγιση όπως είπατε και ο συγγραφεάς αναφέρει πάντοτε, από ό,τι έχω δει, ότι μία εξίσωση αποτελεί απόρροια κάποιας αντικατάστασης.

Μπορείς παρακαλώ να αναρτήσεις εδώ την εικόνα της σχετικής σελίδας από το βιβλίο; Παρακαλώ να φαίνεται π.χ. το 1/3 της σελίδας πριν από το εν λόγω σημείο και 1/3 μετά.

Το ζητώ γιατί ήδη έχεις κάνει μία μικρή "ατασθαλία" ως προς την διατύπωση. Στην αρχή ζήταγες (το κοκκίνισα στο ποστ #7) ότι οι τύποι (1) και (2) είναι ισοδύναμοι. Τώρα όμως μας λες ότι ο συγγραφέας γράφει "which yields", το οποίο δεν σημαίνει "ισοδύναμο" αλλά "έπεται".

Κώστας Καρκαλέμης · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 13, 2023 10:42 pm
Μπορείς παρακαλώ να αναρτήσεις εδώ την εικόνα της σχετικής σελίδας από το βιβλίο; Παρακαλώ να φαίνεται π.χ. το 1/3 της σελίδας πριν από το εν λόγω σημείο και 1/3 μετά.

Το ζητώ γιατί ήδη έχεις κάνει μία μικρή "ατασθαλία" ως προς την διατύπωση. Στην αρχή ζήταγες (το κοκκίνισα στο ποστ #7) ότι οι τύποι (1) και (2) είναι ισοδύναμοι. Τώρα όμως μας λες ότι ο συγγραφέας γράφει "which yields", το οποίο δεν σημαίνει "ισοδύναμο" αλλά "έπεται".

Εντάξει, στέλνω 3 αποσπάσματα τα οποία περιέχουν τις εξισώσεις για τις οποίες έχουμε συζητήσει.

#11

Εεεεμ, καλά το μυρίστηκα ότι κάτι δεν μας λες καλά. Ευτυχώς που επέμεινα να δω ιδίοις όμμασι το βιβλίο.

Θα δεις στο τέλος της σελίδας 16 ότι λέει πως βρίσκουμε το $\psi$ στις περιπτώσεις ... in cases for which the eccentricity of the orbit is small'' '

Τώρα αλλάζει το πράγμα! Μπορούμε να αγνοήσουμε όρους με μεγάλες δυνάμεις του

. Ο ίδιος ο συγγραφές φαίνεται να κρατά μόνο μέχρι το e^2

(θα το δω όταν κάνω τις πράξεις: όχι τώρα γιατί πηγαίνω κουρασμένος για ύπνο).

Συγκεκριμένα, αφού ενδιαφέρεται για την περιφορά της Γης, η οποία είναι σχεδόν κυκλική (δηλαδή η εκκεντρότητά της είναι σχεδόν

) μπορεί να υποθέσει αυτό που σημείωσα. Ως γνωστόν η Γη έχει e= 0.0167

. Το θυμάμαι γιατί μοιάζει με την τιμή της χρυσής τομής δια 100, που εντυπωσίαζε τον Kepler ο οποίος βρήκε την εξίσωση που συζητάμε και ο οποίος είχε υψηλού βαθμού δέος και μυστικοπάθεια σχετικά με την χρυσή τομή.

Λύθηκε το μυστήριο. Πράξεις αύριο αλλά μάλλον καλό είναι εν τω μεταξύ να τις κάνεις εσύ.

Και ένα τελευταίο για να εξηγήσω την ένστασή μου σε κάτι που έγραφα παραπάνω. Θυμάσαι που μίλησα για "ατασθαλία" όταν μετέφρασες το "yields" ως "ισοδύναμο"; Θα ήταν μικρή, αμελητέα, η λάθος μετάφραση αλλά είχα πονηρευτεί ότι τα δύο δεν είναι ισοδύναμα. Εδώ αγνοούμε όρους (τους υψηλόβαθμους

) οπότε χάνουμε πληροφορία αλλά εργαζόμαστε προσεγγιστικά. Γι' αυτό απόρησα με το "ισοδύναμα". Τώρα μπήκαν όλα στην θέση τους. Ώρα για ύπνο.

Κώστας Καρκαλέμης · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 1:21 am
Εεεεμ, καλά το μυρίστηκα ότι κάτι δεν μας λες καλά. Ευτυχώς που επέμεινα να δω ιδίοις όμμασι το βιβλίο.

Θα δεις στο τέλος της σελίδας 16 ότι λέει πως βρίσκουμε το $\psi$ στις περιπτώσεις ... in cases for which the eccentricity of the orbit is small'' '

Τώρα αλλάζει το πράγμα! Μπορούμε να αγνοήσουμε όρους με μεγάλες δυνάμεις του . Ο ίδιος ο συγγραφές φαίνεται να κρατά μόνο μέχρι το (θα το δω όταν κάνω τις πράξεις: όχι τώρα γιατί πηγαίνω κουρασμένος για ύπνο).

Συγκεκριμένα, αφού ενδιαφέρεται για την περιφορά της Γης, η οποία είναι σχεδόν κυκλική (δηλαδή η εκκεντρότητά της είναι σχεδόν ) μπορεί να υποθέσει αυτό που σημείωσα. Ως γνωστόν η Γη έχει . Το θυμάμαι γιατί μοιάζει με την τιμή της χρυσής τομής δια 100, που εντυπωσίαζε τον Kepler ο οποίος βρήκε την εξίσωση που συζητάμε και ο οποίος είχε υψηλού βαθμού δέος και μυστικοπάθεια σχετικά με την χρυσή τομή.

Λύθηκε το μυστήριο. Πράξεις αύριο αλλά μάλλον καλό είναι εν τω μεταξύ να τις κάνεις εσύ.

Και ένα τελευταίο για να εξηγήσω την ένστασή μου σε κάτι που έγραφα παραπάνω. Θυμάσαι που μίλησα για "ατασθαλία" όταν μετέφρασες το "yields" ως "ισοδύναμο"; Θα ήταν μικρή, αμελητέα, η λάθος μετάφραση αλλά είχα πονηρευτεί ότι τα δύο δεν είναι ισοδύναμα. Εδώ αγνοούμε όρους (τους υψηλόβαθμους ) οπότε χάνουμε πληροφορία αλλά εργαζόμαστε προσεγγιστικά. Γι' αυτό απόρησα με το "ισοδύναμα". Τώρα μπήκαν όλα στην θέση τους. Ώρα για ύπνο.

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την βοήθεια! Φαίνεται δεν το είχα δει καθόλου, γιατί ήμουν συγκεντρωμένος στις εξισώσεις. Θα προσπαθήσω να το λύσω σήμερα.

Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Re: Βοήθεια με εξίσωση που προκύπτει από ανάπτυξη σε δυναμοσειρά

Μέλη σε σύνδεση