Ασύμπτωτη σύμπτωση;

[Al.Koutsouridis]

Επειδή μου έκανε εντύπωση το πόσο κοντά είναι σε εψιλοντικό ορισμό ορίου...

Στο δεύτερο βιβλίο των κωνικών του Απολλώνιου η πρόταση ιδ' λέει:

"Αι ασύμπτωτοι και η τομή εις άπειρον εκβαλλόμεναι εγγιόν τε προσάγουσιν εαυταίς και παντός του δοθέντος διαστήματος εις έλαττον αφικνούνται διάστημα."

Επί της ουσίας :

"Αι ασύμπτωτοι () και η τομή () εις άπειρον εκβαλλόμεναι (για ) εγγιόν τε προσάγουσιν εαυταίς και παντός του δοθέντος διαστήματος () εις έλαττον αφικνούνται διάστημα ()."

[Μάρκος Βασίλης]

Είναι, πράγματι, εντυπωσιακό και ταυτόχρονα ενδεικτικό της σημασίας που έχει η γλώσσα στην οποία κανείς εκφράζει την ιδέα του. Ενώ, εννοιολογικά, είναι πράγματι αυτό που έχει κανείς ως διαίσθηση για την ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης, η μη συμβολική γλώσσα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών τους έκανε, από ένα σημείο και μετά, τη ζωή δύσκολη, μιας και είναι σαφώς λιγότερο εύχρηστη και εκφραστική σε σχέση με τη σύγχρονη συμβολική γραφή που έχουμε υιοθετήσει.

[Στέλιος Νεγρεπόντης]

Πολύ ενδιαφέρουσα η επισήμανση του κυρίου Κουτσουρίδη ότι η Πρόταση ιδ’ του δεύτερου βιβλίου των Κωνικών του Απολλώνιου φθάνει κοντά στον εψιλοντικό ορισμό ορίου. Ίσως ακόμη κοντύτερα φθάνει στον ορισμό αυτό η

Πρόταση 10.1 των Στοιχείων του Ευκλείδη.

Δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος
ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου
μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι
μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος με-
γέθους.
῎Εστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ·
λέγω, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ
καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο
ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον
τοῦ Γ μεγέθους.

Με διαφορετικό συμβολισμό ¨(θέτοντας ΑΒ=α, Γ=ε)
και σε ελεύθερη απόδοση η Πρόταση 10.1 διατυπώνεται ως εξής:

Αν α, ε είναι μεγέθη και α1<α/2, α2<α1/2, ..., αν+1<αν/2,...
(δηλαδή χονδρικά αν<α/2^ν) για κάθε ν=1,2,...),
τότε υπάρχει ν ώστε αν<ε.

Δεδομένου ότι η ακολουθία (αν) είναι εξ ορισμού φθίνουσα, η Πρόταση 10.1 λέει ακριβώς με τον σύγχρονο εψιλοντικό ορισμό ότι

Το όριο της αν ισούται με μηδέν καθώς ν τείνει στο άπειρο

[Al.Koutsouridis]

Πολύ ενδιαφέρουσα η επισήμανση του κυρίου Κουτσουρίδη ότι η Πρόταση ιδ’ του δεύτερου βιβλίου των Κωνικών του Απολλώνιου φθάνει κοντά στον εψιλοντικό ορισμό ορίου.

Η επισήμανση δεν είναι δική μου, έπεσα πάνω της "ξεφυλλίζοντας" το βιβλίο "Απολλώνιος ο Περγαίος" του Μπ. Α. Ροζενφέλντ. (σελ. 62). Αν και η διατύπωση στην παραπάνω μορφή, που είναι ο σχολικός και σύγχρονος ορισμός της ασυμπτώτου, έγινε από μένα.

Στο παραπάνω βιβλίο ο συγγραφέας απαριθμεί μερικά αποτελέσματα του Απολλώνιου και δίνει την σύγχρονη εκδοχή τους. Πλάγιες συντεταγμένες, αντιστροφή, πολικές, καμπυλότητα, normals κ.α.