Πύργος σε λωρίδα

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #1

Έστω σκακιέρα με $1 \times n$ τετράγωνα με $n \geq 2$ . Ένας πύργος βρίσκεται στο αριστερότερο τετράγωνο. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτάσει ο πύργος στο δεξιότερο τετράγωνο αν κινείται κάθε φορά ένα ή περισσότερα τετράγωνα προς τα δεξιά.

JimNt. · #2

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω σκακιέρα με $1 \times n$ τετράγωνα με $n \geq 2$ . Ένας πύργος βρίσκεται στο αριστερότερο τετράγωνο. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτάσει ο πύργος στο δεξιότερο τετράγωνο αν κινείται κάθε φορά ένα ή περισσότερα τετράγωνα προς τα δεξιά.

Έστω ότι ο πύργος κάνει

κινήσεις. ( $m \le n-1$ ) Έστω x_i

το πλήθος τετραγώνων που περνάει στην

οστή κίνηση. Πρέπει x_1+x_2+...+x_m=n-1

. Για

έχουμε $\dbinom{n-1-1}{1-1}$ τρόπους.... για m=n-1

έχουμε $\dbinom{n-1-1}{n-1-1}$ τρόπους . Συνεπώς, το ζητούμενο πλήθος είναι $\dbinom{n-2}{0}+...+\dbinom{n-2}{n-2}=2^{n-2}$ .

#3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω σκακιέρα με $1 \times n$ τετράγωνα με $n \geq 2$ . Ένας πύργος βρίσκεται στο αριστερότερο τετράγωνο. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτάσει ο πύργος στο δεξιότερο τετράγωνο αν κινείται κάθε φορά ένα ή περισσότερα τετράγωνα προς τα δεξιά.

Άλλος τρόπος: Μαυρίζουμε το πρώτο και το τελευταίο τετράγωνο. Από τα ενδιάμεσα n-2

μαυρίζουμε κάποια (από κανένα έως όλα). Ουσιαστικά οι επιλογές μας είναι όσα τα υποσύνολα ενός συνόλου με n-2

στοιχεία, δηλαδή $2^{n-2}$ . Τα μαυρισμένα τετράγωνα είναι οι σταθμοί του πύργου στην διαδρομή του από αριστερά προς τα δεξιά. Συνεπώς υπάρχουν $2^{n-2}$ τρόποι.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω σκακιέρα με $1 \times n$ τετράγωνα με $n \geq 2$ . Ένας πύργος βρίσκεται στο αριστερότερο τετράγωνο. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτάσει ο πύργος στο δεξιότερο τετράγωνο αν κινείται κάθε φορά ένα ή περισσότερα τετράγωνα προς τα δεξιά.
Έστω ότι ο πύργος κάνει κινήσεις. ( $m \le n-1$ ) Έστω το πλήθος τετραγώνων που περνάει στην οστή κίνηση. Πρέπει . Για έχουμε $\dbinom{n-1-1}{1-1}$ τρόπους.... για έχουμε $\dbinom{n-1-1}{n-1-1}$ τρόπους . Συνεπώς, το ζητούμενο πλήθος είναι $\dbinom{n-2}{0}+...+\dbinom{n-2}{n-2}=2^{n-2}$ .

Mihalis_Lambrou έγραψε: Άλλος τρόπος: Μαυρίζουμε το πρώτο και το τελευταίο τετράγωνο. Από τα ενδιάμεσα μαυρίζουμε κάποια (από κανένα έως όλα). Ουσιαστικά οι επιλογές μας είναι όσα τα υποσύνολα ενός συνόλου με στοιχεία, δηλαδή $2^{n-2}$ . Τα μαυρισμένα τετράγωνα είναι οι σταθμοί του πύργου στην διαδρομή του από αριστερά προς τα δεξιά. Συνεπώς υπάρχουν $2^{n-2}$ τρόποι.

Ουσιαστικά αυτόν τον τρόπο έχω υπόψη μου, αλλά με

και

. Δηλαδή η απάντηση είναι το πλήθος των (n-2)

-ψήφιων δυαδικών αριθμών.

Πύργος σε λωρίδα

Πύργος σε λωρίδα

Re: Πύργος σε λωρίδα

Re: Πύργος σε λωρίδα

Re: Πύργος σε λωρίδα

Μέλη σε σύνδεση