Τριγωνομετρικό άρωμα

KARKAR · #1

Λύστε ( στο $\mathbb{R}$ ) , το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y & =4\\ x^5+y^5&=724 \end{matrix}\right$

Μην το βλέπετε ως "μη διασκεδαστικό" , μπορεί άνετα να γίνει !

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:00 am Λύστε ( στο $\mathbb{R}$ ) , το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y & =4\\ x^5+y^5&=724 \end{matrix}\right$

$\displaystyle{300=4^5-724=(x+y)^5-(x^5+y^5) = 5xy(x+y) (x^2+xy+y^2)= 20xy((x+y)^2-xy)= 20xy(16-xy)}$

Άρα $\displaystyle{ xy(16-xy)=15}$ δηλαδή $\displaystyle{(xy-15)(xy-1)=0}$ .

Έτσι xy=1

ή

, που μαζί με την x+y=4

δίνει εύκολα τις ρίζες.

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:00 am Λύστε ( στο $\mathbb{R}$ ) , το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y & =4\\ x^5+y^5&=724 \end{matrix}\right$

Μην το βλέπετε ως "μη διασκεδαστικό" , μπορεί άνετα να γίνει !

Θέτω

$\displaystyle {(2 + a)^5} + {(2 - a)^5} = 724 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {a^4} + 8{a^2} - 33 = 0 \Leftrightarrow {a^2} = 3$ και $\displaystyle a = \pm \sqrt 3$

Έτσι $\displaystyle x = 2 + \sqrt 3 ,y = 2 - \sqrt 3$ (ή και αντίστροφα) και για να δικαιολογήσουμε τον τίτλο $\displaystyle x = \tan 75^\circ ,y = \tan 15^\circ$

KARKAR · #4

Η λύση του Μιχάλη πανέμορφη

. Η λύση του Γιώργου είναι "πατέντα" , έχει όμως ξαναεμφανισθεί

στο forum , τουλάχιστον μία φορά εδώ . Αυτήν είχα κατά νου . Το τριγωνομετρικό άρωμα

είναι περίπου αυτό του Γιώργου : $\tan15^0=2-\sqrt{3} , \cot15^0=2+\sqrt{3}$ .

Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίστροφοι φυσικά . "Διαβλέποντας" το γεγονός αυτό , το σύστημα γίνεται :

$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x} & =4\\ & \\ x^5+\dfrac{1}{x^5}&=724 \end{matrix}\right$ . Αλλά : $x^5+\dfrac{1}{x^5}=(x+\dfrac{1}{x})^5-5(x+\dfrac{1}{x})^3+5(x+\dfrac{1}{x})$ ,

( ας μάθουμε μια ωραία ταυτότητα ! ) , οπότε με : $x+\dfrac{1}{x}=t$ , η εξίσωση είναι η :

t^5-5t^3+5t-724=0

, η οποία όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει και από εδώ

έχει μοναδική ρίζα την t=4

, δηλαδή : $x+\dfrac{1}{x}=4$ , ή : $x=2-\sqrt{3} , y= 2+\sqrt{3}$ .

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 17, 2019 7:32 pm ...οπότε με : $x+\dfrac{1}{x}=t$ , η εξίσωση είναι η :

, η οποία όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει και από εδώ

έχει μοναδική ρίζα την , δηλαδή : $x+\dfrac{1}{x}=4$ , ή : $x=2-\sqrt{3} , y= 2+\sqrt{3}$ .

Ήμουν σίγουρος ότι οι δύο ασκήσεις σχετίζονταν (λόγω του x^5

και του

), αλλά δεν μπόρεσα να κάνω τη σύνδεση.

Τριγωνομετρικό άρωμα

Τριγωνομετρικό άρωμα

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

Re: Τριγωνομετρικό άρωμα

Μέλη σε σύνδεση