Εξισώσεις

mick7 · #1

Να λυθούν στους πραγματικούς

α) $\dispalystyle (x^3+x^2+1)^{2}+(x^3-x^2+1)^2=2x^4$

b) $\displaystyle 4x^2+4x+17=\frac{12}{x^2-x+1}$

#2

mick7 έγραψε: Τρί Δεκ 17, 2019 5:47 pm Να λυθούν στους πραγματικούς

α) $\dispalystyle (x^3+x^2+1)^{2}+(x^3-x^2+1)^2=2x^4$

Η πρώτη ισοδύναμα, με άμεση απλοποίηση που γίνεται εύκολα αν δούμε τις παρενθέσεις ως $[(x^3+1)\pm x^2]^2$ , είναι

2x^6+4x^3+2=0

, ή αλλιώς 2(x^3+1)^2=0

. Mοναδική πραγματική ρίζα (και μάλιστα διπλή) η x=-1

.

#3

mick7 έγραψε: Τρί Δεκ 17, 2019 5:47 pm Να λυθούν στους πραγματικούς

b) $\displaystyle 4x^2+4x+17=\frac{12}{x^2-x+1}$

Αν δεν κάνω κάποιο λάθος, η (b) δεν έχει πραγματικές ρίζες.

#4

mick7 έγραψε: Τρί Δεκ 17, 2019 5:47 pm Να λυθούν στους πραγματικούς

b) $\displaystyle 4x^2+4x+17=\frac{12}{x^2-x+1}$

Διώχνουμε τον παρονομαστή και απλοποιούμε (οι πράξεις δεν είναι όσο πολλές φαίνονται). Θα βρούμε ισοδύναμα

$\displaystyle{ 4x^4+17x^2-13x+5=0}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{ 4x^4+4x^2 + 13(x-1/2)^2 + 7/4=0}$ . Προφανώς το αριστερό μέλος είναι γνήσια θετικό, οπότε δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος.

#5

Αν ο παρονομαστής στη (b) είναι x^2+x+1

τότε υπάρχει πραγματική λύση $x=-\dfrac{1}{2},$

χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό x^2+x=t,

κλπ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

mick7 έγραψε: Τρί Δεκ 17, 2019 5:47 pm Να λυθούν στους πραγματικούς

α) $\dispalystyle (x^3+x^2+1)^{2}+(x^3-x^2+1)^2=2x^4$

b) $\displaystyle 4x^2+4x+17=\frac{12}{x^2-x+1}$

Είναι $\displaystyle x^2-x+1\geq \frac{3}{4}$
με ισότητα για $x=\frac{1}{2}$
και
$\displaystyle 4x^2+4x+17\geq 16$

με ισότητα για $x=-\frac{1}{2}$
Ετσι
$\displaystyle (4x^2+4x+17)(x^2-x+1)>12,x\in \mathbb{R}$

Εξισώσεις

Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση