Διαδοχικοί ακέραιοι

KARKAR · #1

: Διαδοχικοί ακέραιοι.png (10.51 KiB) Προβλήθηκε 1091 φορές

Κατασκευάσαμε τρίγωνο ABC

με ένα σημείο

της

, ώστε τα μήκη των τμημάτων

AS , AB, AC , BC

να είναι διαδοχικοί ακέραιοι . Μπορείτε να το κάνετε κι εσείς ;

Δυστυχώς για σάς υπάρχει και περιορισμός : το

δεν επιτρέπεται να είναι ύψος !

Επιπλέον απαίτηση : Πρέπει να σκιαγραφήσετε τον τρόπο που φτάσατε στην λύση

Και κάτι ακόμα : Τα μήκη των BS , SC

να είναι επίσης ακέραιοι

#2

Υπάρχουν άπειρα τέτοια τρίγωνα.

: Διαδοχικοί ακέραιοι.Κ.png (8.78 KiB) Προβλήθηκε 1076 φορές

Κατασκευάζω τρίγωνο ABC

με $\displaystyle AB = n + 1,AC = n + 2,BC = n + 3.$ To

εντοπίζεται ως το σημείο

τομής του κύκλου (A,n)

με την

Αρκεί λοιπόν ο κύκλος να τέμνει την BC.

Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle n > 5.$

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 08, 2020 9:29 am
Και κάτι ακόμα : Τα μήκη των να είναι επίσης ακέραιοι

Το τρίγωνο που κατασκεύασα καλύπτει και αυτή την περίπτωση BS=3 , SC=6.

Δεν καταλαβαίνω όμως τον περιορισμό. Το

δεν μπορεί έτσι κι αλλιώς να είναι ακέραιο ύψος.

KARKAR · #4

: Με άλλη σειρά.png (8.97 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

Γιώργο , ο περιορισμός μπήκε , διότι κάποιος θα μπορούσε να παρουσιάσει ως λύση το πασίγνωστο τρίγωνο

του σχήματος , επικαλούμενος το γεγονός , ότι δεν λέει "μ' αυτή την σειρά "

Το "κάτι ακόμα " όμως απαιτεί από τον λύτη επιπλέον δικαιολόγηση της λύσης

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 08, 2020 11:46 am
Το "κάτι ακόμα " όμως απαιτεί από τον λύτη επιπλέον δικαιολόγηση της λύσης

Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}:$ $\displaystyle {(n + 1)^2}x + {(n + 2)^2}(n + 3 - x) = {n^2}(n + 3) + x(n + 3)(n + 3 - x),$

: Διαδοχικοί ακέραιοι.Κ1.png (9.39 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές

απ' όπου καταλήγουμε στην εξίσωση $\displaystyle (x - 4){n^2} - {(x - 4)^2}n - 3{(x - 2)^2} = 0$ και για x-4=a>0,

είναι $\displaystyle a{n^2} - {a^2}n - 3{(a + 2)^2} = 0,$ που έχει στους θετικούς ακέραιους τη λύση n=6, a=2.

Άρα, $\boxed{AS = 6,AB = 7,AC = 8,BC = 9,BS = 3,SC = 6}$

Διαδοχικοί ακέραιοι

Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση