Χωρίς ριζικά και χωρίς ρίζες

KARKAR · #1

: Χωρίς ριζικά και χωρίς ρίζες.png (7.83 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Ευθεία με $\lambda > \dfrac{1}{2}$ , διέρχεται από το σημείο S(5,3)

και τέμνει την $y=\dfrac{x}{2}$ στο

και τον

στο

.

α) Υπολογίστε - χωρίς χρήση ριζικών - το γινόμενο $ST\cdot TP$ ( η τελεία παραλείπεται

)

β) Δείξτε - χωρίς εύρεση ριζών - ότι το γινόμενο αυτό παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 03, 2021 12:47 pm Χωρίς ριζικά και χωρίς ρίζες.pngΕυθεία με $\lambda > \dfrac{1}{2}$ , διέρχεται από το σημείο και τέμνει την $y=\dfrac{x}{2}$ στο και τον στο .

α) Υπολογίστε - χωρίς χρήση ριζικών - το γινόμενο $ST\cdot TP$ ( η τελεία παραλείπεται )

β) Δείξτε - χωρίς εύρεση ριζών - ότι το γινόμενο αυτό παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο .

Έστω $\displaystyle y = \lambda x - 5\lambda + 3,\lambda > \frac{1}{2}$ η ευθεία που τέμνει την $\displaystyle y = \frac{x}{2}$ στο $\displaystyle T\left( {\frac{{2(5\lambda - 3)}}{{2\lambda - 1}},\frac{{5\lambda - 3}}{{2\lambda - 1}}} \right)$

και τον Oy'

στο $P(0,-5\lambda+3)$

: Χωρίς Ριζικά και ρίζες.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

α) $\displaystyle \overrightarrow {TS} = \left( {\frac{1}{{2\lambda - 1}},\frac{\lambda }{{2\lambda - 1}}} \right),\overrightarrow {PT} = \left( {\frac{{2(5\lambda - 3)}}{{2\lambda - 1}},\frac{{2\lambda (5\lambda - 3)}}{{2\lambda - 1}}} \right)$ κι επειδή τα διανύσματα

$\displaystyle \overrightarrow {TS} ,\overrightarrow {PT}$ είναι ομόρροπα θα είναι $\boxed{ST \cdot TP = \overrightarrow {TS} \cdot \overrightarrow {PT} = \frac{{2({\lambda ^2} + 1)(5\lambda - 3)}}{{{{(2\lambda - 1)}^2}}}}$

β) Η συνάρτηση $\displaystyle f(\lambda ) = \frac{{2({\lambda ^2} + 1)(5\lambda - 3)}}{{{{(2\lambda - 1)}^2}}},\lambda > \frac{1}{2}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'(\lambda ) = \frac{{2(10{\lambda ^3} - 15{\lambda ^2} - 4\lambda + 7)}}{{{{(2\lambda - 1)}^3}}}$

Η εξίσωση $\displaystyle 10{\lambda ^3} - 15{\lambda ^2} - 4\lambda + 7 = 0$ έχει, ως τριτοβάθμια, το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες. Τελικά

διαπιστώνουμε με $\displaystyle {\rm{Bolzano}}$ ότι έχει ακριβώς τρεις ρίζες, μία σε καθένα από τα διαστήματα $(-1,0), (\dfrac{1}{2},1),$

(1,2).

Λόγω περιορισμού όμως είναι $\lambda > \dfrac{1}{2},$ άρα έχει δύο ρίζες εκατέρωθεν των οποίων η

αλλάζει πρόσημο.

Επομένως, συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο γινόμενο έχει ένα τοπικό μέγιστο κι ένα τοπικό ελάχιστο.

Χωρίς ριζικά και χωρίς ρίζες

Χωρίς ριζικά και χωρίς ρίζες

Re: Χωρίς ριζικά και χωρίς ρίζες

Μέλη σε σύνδεση