Με το μάτι

KARKAR · #1

: Εκθετική - λογαριθμική.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

Θέλοντας να φέρουμε κοντά την εκθετική με την λογαριθμική , θεωρούμε τις : $f(x)=e^{x/a} , g(x)=ln(ax)$

Αυτές για κάποια τιμή του

εφάπτονται . Ψάχνοντας για λύση με το Wolframalpha

, διεπίστωσα ότι δεν

τα καταφέρνει . Έτσι θα αρκεστείτε στην λύση : a=3,2065098207997...

, την οποία βρήκα με "το μάτι "

#2

Θεωρώ τη συνάρτηση $f(x) = e^{x/a} - \ln(ax)$ όπου a > 0

. Για να έχουμε μοναδική ρίζα στο σημείο x = t

είναι εύκολο να δειχθεί ότι θέλουμε f(t) = f'(t) = 0

.

Επειδή $f'(x) = \frac{1}{a}e^{x/a} - \frac{1}{x}$ , θέλουμε $\frac{t}{a}e^{t/a} = 1$ .

Έστω g(x) = xe^x

. Η αντίστροφη συνάρτηση της

ονομάζεται συνάρτηση Lambert και συμβολίζεται με

. Δεν μπορούμε να την γράψουμε σε σχέση με άλλες στοιχειώδεις συναρτήσεις. Στην περίπτωσή μας θέλουμε f(t/a) = 1

, άρα

.

Η

δίνει τώρα $\ln(at) = e^{t/a} = \frac{a}{t}$ οπότε $at = e^{a/t}$ και $a^2W(1) = e^{1/W(1)}$ . Παίρνουμε $\displaystyle a = \frac{e^{1/2W(1)}}{\sqrt{W(1)}}$

Το wolframalpha επιβεβαιώνει την τιμή του

που έδωσες μόνο που έχασες το τελευταίο δεκαδικό.

Οι συναρτήσεις εφάπτονται όταν $x = t = aW(1) = \sqrt{W(1)}e^{1/2W(1)} \approx 1.81855053$ και σε αυτό το σημείο λαμβάνουν την τιμή $e^{W(1)} = \frac{1}{W(1)} \approx 1.76322283$ .

Με το μάτι

Με το μάτι

Re: Με το μάτι

Μέλη σε σύνδεση