Η μέρα του χρόνου

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left \lfloor \varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} \right \rfloor + 3 = 365}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 2:43 pm Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left \lfloor \varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} \right \rfloor + 3 = 365}$

Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση $\boxed{\Phi^2=\Phi+1}$

$\displaystyle {\Phi ^5} + {\Phi ^7} + {\Phi ^{12}} = {\Phi ^5}\left( {1 + {\Phi ^2} + \Phi {{({\Phi ^2})}^3}} \right) = \Phi {({\Phi ^2})^2}\left( {1 + \Phi + 1 + \Phi {{(\Phi + 1)}^3}} \right)$

συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, καταλήγω ότι:

$\displaystyle {\Phi ^5} + {\Phi ^7} + {\Phi ^{12}} = 162\Phi + 100 \simeq 362,1215 \Rightarrow \left[ {{\Phi ^5} + {\Phi ^7} + {\Phi ^{12}}} \right] + 3 = 362 + 3 = 365$

Φαίνεται, ότι πληκτρολογούσαμε μαζί με τον Μιχάλη.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 2:43 pm Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left \lfloor \varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} \right \rfloor + 3 = 365}$

Με πολλαπλή χρήση της $\varphi ^2=\varphi +1$ έχουμε $\varphi ^4=\varphi ^2 +2\varphi +1 = ( \varphi +1) +2\varphi +1 = 3\varphi +2$

Άρα $\varphi ^5= \varphi \varphi ^4= \varphi ( 3\varphi +2)= 3\varphi ^2 +2\varphi = 3(\varphi +1) + 2\varphi = 5\varphi +3$

Όμοια $\varphi ^6= \varphi \varphi ^5=... =8\varphi +5$ και $\varphi ^7= \varphi \varphi ^6=... =13\varphi +8$ .

Έπεται ότι

$\varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} = (\varphi^5 + 1)(\varphi^7 +1) -1 = (5\varphi +4)(13\varphi +9)-1 = 65\varphi ^2 +97\varphi +35=$

$=65(\varphi +1) +97\varphi +35= 162\varphi +100, \,\, (*)$

Όμως $1,618 < \varphi < 1,619$ οπότε η (*)

δίνει $162\times 1,618 +100 < \varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} < 162\times 1,619 +100$ ,

ισοδύναμα $362,116 < \varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} < 362,272$ .

Άρα $\boxed {\left \lfloor \varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} \right \rfloor =362}$ , από όπου το ζητούμενο.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 2:43 pm Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left \lfloor \varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12} \right \rfloor + 3 = 365}$

Παραλλαγή για να μην περάσει απαρατήρητος ένας τύπος που υπάρχει έμμεσα στην λύση που έγραψα αλλά τον οποίο δεν γνώριζα:

Λήμμα. Αν $F_1=F_2=1, \, \, F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ για $n\ge 1$ η ακολουθία Fibonacci (που ως γνωστόν είναι η $1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,...$ )

τότε $\boxed {\phi ^n= F_n\phi +F_{n-1}}$ .

Η απόδειξη είναι απλή με επαγωγή: Για το επαγωγικό βήμα

$\phi ^{n+1} = \phi \phi ^n= \phi (F_n\phi +F_{n-1}) = F_n\phi ^2 +F_{n-1} \phi = F_n(\phi + 1) +F_{n-1} \phi =$

$= ( F_n +F_{n-1}) \phi + F_n= F_{n+1}\phi +F_{n}$ , όπως θέλαμε.

Τώρα πίσω στην άσκηση. Έχουμε

$\varphi^5 + \varphi^7 + \varphi^{12}= (F_5+F_7+F_{12})\phi +(F_4+F_6+F_{11}) = (5+13+144)\phi+(3+8+89)=162\phi + 100$ .

Συνεχίζουμε τώρα όπως πριν.

Η μέρα του χρόνου

Η μέρα του χρόνου

Re: Η μέρα του χρόνου

Re: Η μέρα του χρόνου

Re: Η μέρα του χρόνου

Μέλη σε σύνδεση