Καγκουρό και δράκοι

#1

Σε ένα νησί ζουν 21 ζώα. Κάποια από αυτά είναι καγκουρό και τα υπόλοιπα είναι δράκοι (τουλάχιστον ένα από το κάθε είδος). Τα καγκουρό λένε πάντα την αλήθεια ενώ οι δράκοι λένε πάντα ψέµατα. Κάθε µέρα φεύγει από το νησί ένα από τα ζώα. Τη στιγµή που φεύγει λέει «όταν θα φύγω από το νησί, το πλήθος των καγκουρό που µένουν θα είναι ίσο µε το πλήθος των δράκων που µένουν». Πόσοι ήσαν οι δράκοι αρχικά;

Από παλιό διαγωνισμό Καγκουρό!
(Η υπόθεση ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα από το κάθε είδος δε χρειάζεται...)

abgd · #2

Αν δεν είχαμε καγκουρό τότε οι δράκοι είναι 21.
Αν υπάρχει ένα τουλάχιστον καγκουρό: Υποθέτουμε ότι τα πρώτα $\displaystyle x$ ζώα που έφυγαν από το νησί είναι δράκοι και το επόμενο είναι καγκουρό. Αυτό μας λέει την αλήθεια η οποία είναι: "Τα μισά ζώα που μένουν είναι δράκοι και τα άλλα μισά καγκουρό"
Στο νησί, τη στιγμή που φεύγει το πρώτο καγκουρό έχουμε $\displaystyle 20-x$ ζώα. Τα μισά $\displaystyle 10-\frac{x}{2}$ είναι δράκοι, οπότε οι δράκοι που υπάρχουν αρχικά είναι $\displaystyle 10-\frac{x}{2}+x=\boxed{10+\frac{x}{2}}$ , με το $\displaystyle x$ να είναι άρτιος μη αρνητικός ακέραιος μικρότερος του 21.

#3

socrates έγραψε: Σάβ Φεβ 05, 2022 4:05 pm Σε ένα νησί ζουν 21 ζώα. Κάποια από αυτά είναι καγκουρό και τα υπόλοιπα είναι δράκοι (τουλάχιστον ένα από το κάθε είδος). Τα καγκουρό λένε πάντα την αλήθεια ενώ οι δράκοι λένε πάντα ψέµατα. Κάθε µέρα φεύγει από το νησί ένα από τα ζώα. Τη στιγµή που φεύγει λέει «όταν θα φύγω από το νησί, το πλήθος των καγκουρό που µένουν θα είναι ίσο µε το πλήθος των δράκων που µένουν». Πόσοι ήσαν οι δράκοι αρχικά;

Από παλιό διαγωνισμό Καγκουρό!
(Η υπόθεση ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα από το κάθε είδος δε χρειάζεται...)

Ναι, η άσκηση είναι από τον Διαγωνισμό Καγκουρό το 2013 και απευθυνόταν σε μαθητές Γ΄Γυμνασίου και Α' Λυκείου. Ήταν η νούμερο 28 από 30.

Νομίζω, ίσως κάνω λάθος, η παραπάνω λύση θέλει συμπλήρωμα. Δείχνει ότι οι δράκοι έφυγαν τις άρτιες ημέρες αλλά πρέπει να δούμε τι γίνεται με τις περιττες και να συνυπολογίσουμε πόσοι δράκοι παραμένουν την εκάστοτε ημέρα.

Παραθέτω copy/paste την λύση που έγραψα τότε στο βιβλίο μου με τα θέματα εκείνης της χρονιάς.

Το ζώο που αποχώρησε τη 2η μέρα πρέπει να είπε ψέματα γιατί μένουν άλλες 19 μέρες (περιττός αριθμός) που σημαίνει ότι αποκλείεται τα καγκουρό να είναι ίσα σε πλήθος με τους δράκους. Άρα το ζώο που αποχώρησε τη 2η μέρα ήταν δράκος. Όμοια αποχώρησε δράκος στις ημέρες 4, 6, 8, … , 20. Συνολικά αυτό μας κάνει 10 δράκους, οι οποίοι αποχώρησαν τις άρτιες ημέρες. Θα δούμε τώρα ότι δεν μπορεί να υπήρχε άλλος δράκος, δηλαδή όλα τα υπόλοιπα ζώα ήταν καγκουρό. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε την υπόθεση ότι τουλάχιστον ένα ζώο είναι καγκουρό. Πραγματικά, την 21η μέρα πρέπει να αποχώρησε καγκουρό γιατί αν ήταν δράκος, τότε το ζώο που αποχώρησε την 19η μέρα είπε ψέματα (αυτά που έμειναν θα ήσαν δράκοι και τα δύο). Όμοια θα ήταν δράκος το ζώο που αποχώρησε την 17η μέρα γιατί είπε ψέματα (μετά από αυτό υπάρχουν 4 δράκοι) και έτσι πηγαίνοντας προς τα πίσω θα είχαμε δράκους την 15η, 13η και λοιπά έως την πρώτη μέρα. Δηλαδή όλα τα ζώα θα ήσαν δράκοι, που αποκλείεται. Συμπεραίνουμε ότι την 21η μέρα αποχώρησε καγκουρό. Άρα και την 19η μέρα αποχώρησε καγκουρό γιατί είπε την αλήθεια (μετά από αυτό υπήρχε ο δράκος της 20ης μέρας και το καγκουρό της 21ης). Όμοια, πηγαίνοντας προς τα πίσω, είπαν αλήθεια τα ζώα που αποχώρησαν την 17η, 15η, και λοιπά μέχρι την 1η μέρα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μπορούμε να πάμε και ανάποδα.
Το γράφω χωρίς την υπόθεση για το

.
Εστω

οι Δράκοι και

τα καγκουρό.
Αν m>n

τότε φευγουν στην αρχή Δράκοι και όταν γίνουν n+1

θα λέει αλήθεια .
Δεν γίνεται.
Αν m=n

τότε φεύγοντας εναλλάξ Δρακος -καγκουρό έχουμε λύση.
Αν n>m

τότε αν

θα φεύγουν Δρακοι και θα μείνουν τα καγκουρό .
Δεν γίνεται .
Τέλος αν n=m+1

τότε φεύγοντας εναλλάξ καγκουρό-Δρακος έχουμε λύση.

Αρα αν ο αρχικός αριθμός και των δύο είναι άρτιος οι Δρακοι θα είναι όσα τα καγκουρό.
Αρα αν ο αρχικός αριθμός και των δύο είναι περιττός τότε τα καγκουρό θα είναι όσοι οι Δρακοι συν ένας.

nickchalkida · #5

Επιχειρώ ακόμα μία διατύπωση, με

το πλήθος των ζώων,

= Καγκουρό,

= Δράκος

Το

ζώο που έφυγε είναι καγκουρό.

Γιατί μόνο το καγκουρό μπορεί να ισχυριστεί ίσο πλήθος από εναπομείνοντα ζώα που είναι μηδέν, ενώ ο δράκος δεν μπορεί.
Άρα η ακολουθία που έφυγαν περιγράφεται ως $(\cdots \_\ \_\ \_\ \_\ \_\ K)$ .

Το

ζώο που έφυγε δεν είναι καγκουρό.

Γιατί ένα καγκουρό δεν μπορεί να ισχυριστεί ίσο πλήθος από εναπομείνοντα ζώα που είναι ενώ ο δράκος μπορεί.
Άρα η ακολουθία που έφυγαν περιγράφεται ως $(\cdots \_\ \_\ \_\ \_\ D K)$ .

Το

ζώο που έφυγε είναι καγκουρό.

Γιατί μόνο το καγκουρό μπορεί να ισχυριστεί ίσο πλήθος από εναπομείνοντα ζώα που είναι ενώ ο δράκος δεν μπορεί.
Άρα η ακολουθία που έφυγαν περιγράφεται ως $(\cdots \_\ \_\ \_\ K D K)$ .

Το

ζώο που έφυγε δεν είναι καγκουρό.

Γιατί ένα καγκουρό δεν μπορεί να ισχυριστεί ίσο πλήθος από εναπομείνοντα ζώα που είναι ενώ ο δράκος μπορεί.
Άρα η ακολουθία που έφυγαν περιγράφεται ως $(\cdots \_\ \_\ D K D K)$ .

$\displaystyle{ \cdots \ \ \ \cdots \ \ \ \cdots \ \ \ }$

abgd · #6

Σωστές οι παραπάνω παρατηρήσεις, τις οποίες δεν έλαβα υπόψιν μου στη λύση που έδωσα,
η οποία βέβαια δεν είναι λάθος - δουλεύει για κάθε άρτιο $\displaystyle x$ από 0 έως 20.
Για παράδειγμα αν $\displaystyle x=6$ , έχουν φύγει 6 δράκοι αρχικά και μετά ένα καγκουρό, τα ζώα που μένουν είναι 14.
Για να είναι δεκτή η τιμή $\displaystyle x$ , για παράδειγμα $\displaystyle x=6$ , θα πρέπει τα 14 ζώα που έμειναν να φεύγουν με συγκεκριμένη σειρά: Πρώτα δράκος και μετά καγκουρό, το οποίο είναι εφικτό και συνεπώς η τιμή $\displaystyle x=6$ είναι δεκτή.
Το ίδιο και για τις υπόλοιπες τιμές του $\displaystyle x$
Έτσι γνωρίζουμε όχι μόνο πόσοι δράκοι είναι αρχικά αλλά και την σειρά με την οποία φεύγουν τα ζώα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

abgd έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 7:47 pm Σωστές οι παραπάνω παρατηρήσεις, τις οποίες δεν έλαβα υπόψιν μου στη λύση που έδωσα,
η οποία βέβαια δεν είναι λάθος - δουλεύει για κάθε άρτιο $\displaystyle x$ από 0 έως 20.
Για παράδειγμα αν $\displaystyle x=6$ , έχουν φύγει 6 δράκοι αρχικά και μετά ένα καγκουρό, τα ζώα που μένουν είναι 14.
Για να είναι δεκτή η τιμή $\displaystyle x$ , για παράδειγμα $\displaystyle x=6$ , θα πρέπει τα 14 ζώα που έμειναν να φεύγουν με συγκεκριμένη σειρά: Πρώτα δράκος και μετά καγκουρό, το οποίο είναι εφικτό και συνεπώς η τιμή $\displaystyle x=6$ είναι δεκτή.
Το ίδιο και για τις υπόλοιπες τιμές του $\displaystyle x$
Έτσι γνωρίζουμε όχι μόνο πόσοι δράκοι είναι αρχικά αλλά και την σειρά με την οποία φεύγουν τα ζώα.

Δεν μπορεί οι Δράκοι να μην είναι

.
Αν π.χ είναι

τότε όταν φύγει ο πέμπτος θα λεει αλήθεια.

#8

socrates έγραψε: Σάβ Φεβ 05, 2022 4:05 pm (Η υπόθεση ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα από το κάθε είδος δε χρειάζεται...)

Υπόψη ότι η υπόθεση ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα καγκουρό είναι απαραίτητη. Αλλιώς, αν και οι 21 ήταν δράκοι, τότε θα είχαμε και δεύτερη λύση στο πρόβλημα, συμβατή με τα δεδομένα.

abgd · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 8:45 pm
abgd έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 7:47 pm Σωστές οι παραπάνω παρατηρήσεις, τις οποίες δεν έλαβα υπόψιν μου στη λύση που έδωσα,
η οποία βέβαια δεν είναι λάθος - δουλεύει για κάθε άρτιο $\displaystyle x$ από 0 έως 20.
Για παράδειγμα αν $\displaystyle x=6$ , έχουν φύγει 6 δράκοι αρχικά και μετά ένα καγκουρό, τα ζώα που μένουν είναι 14.
Για να είναι δεκτή η τιμή $\displaystyle x$ , για παράδειγμα $\displaystyle x=6$ , θα πρέπει τα 14 ζώα που έμειναν να φεύγουν με συγκεκριμένη σειρά: Πρώτα δράκος και μετά καγκουρό, το οποίο είναι εφικτό και συνεπώς η τιμή $\displaystyle x=6$ είναι δεκτή.
Το ίδιο και για τις υπόλοιπες τιμές του $\displaystyle x$
Έτσι γνωρίζουμε όχι μόνο πόσοι δράκοι είναι αρχικά αλλά και την σειρά με την οποία φεύγουν τα ζώα.
Δεν μπορεί οι Δράκοι να μην είναι .
Αν π.χ είναι τότε όταν φύγει ο πέμπτος θα λεει αλήθεια.

Έχεις δίκιο

το $\displaystyle x$ θα πρέπει να είναι 0 γιατί διαφορετικά, φεύγοντας ο $\displaystyle x-1$ δράκος, στη λύση μου,

οι δράκοι και τα καγκουρό που μένουν είναι ίσα στο πλήθος με $\displaystyle \frac{22-x}{2}$ .

Δηλαδή αυτός θα λέει την αλήθεια!

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 8:56 pm
socrates έγραψε: Σάβ Φεβ 05, 2022 4:05 pm (Η υπόθεση ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα από το κάθε είδος δε χρειάζεται...)
Υπόψη ότι η υπόθεση ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα καγκουρό είναι απαραίτητη. Αλλιώς, αν και οι 21 ήταν δράκοι, τότε θα είχαμε και δεύτερη λύση στο πρόβλημα, συμβατή με τα δεδομένα.

Το τελευταίο ζώο που φεύγει πρέπει να λέει την αλήθεια (μένουν 0 δράκοι και 0 καγκουρό) και άρα να είναι καγκουρό.

#11

Demetres έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 9:25 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Φεβ 07, 2022 8:56 pm Υπόψη ότι η υπόθεση ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα καγκουρό είναι απαραίτητη. Αλλιώς, αν και οι 21 ήταν δράκοι, τότε θα είχαμε και δεύτερη λύση στο πρόβλημα, συμβατή με τα δεδομένα.
Το τελευταίο ζώο που φεύγει πρέπει να λέει την αλήθεια (μένουν 0 δράκοι και 0 καγκουρό) και άρα να είναι καγκουρό.

Δημήτρη, σωστό μεν αλλά για παιδιά Γ Γυμνασίου μάλλον πρέπει να ερμηνεύσουμε την υπόθεση

"Τη στιγµή που φεύγει λέει «όταν θα φύγω από το νησί, το πλήθος των καγκουρό που µένουν θα είναι ίσο µε το πλήθος των δράκων που µένουν»

διασταλτικά. Εννοώ ότι το γεγονός ότι χρησιμοποιεί φράση για αυτούς που μένουν ενώ δεν μένει κανείς, σημαίνει ότι ψεύδεται.

Επί της ουσίας πάντως, έχεις δίκιο.

Καγκουρό και δράκοι

Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Re: Καγκουρό και δράκοι

Μέλη σε σύνδεση