Κύβος

mick7 · #1

Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος $\displaystyle m$ ώστε o $\displaystyle m\cdot5!$ να είναι τέλειος κύβος

(Άσκηση απο Περιοδικό)

#2

mick7 έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 4:55 pm Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος $\displaystyle m$ ώστε o $\displaystyle m\cdot5!$ να είναι τέλειος κύβος

$5! = 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 = 2^3\cdot 3 \cdot 5$ . Οπότε για να γίνει τέλειος κύβος (ισοδύναμα όλοι οι πρώτοι παράγοντες πρέπει να είναι υψωμένοι σε δύναμη η οποία είναι πολλαπλάσιο του

) είναι απαραίτητο να συμπληρώσουμε τουλάχιστον έναν παράγοντα 3^2

και έναν

. Άρα ο μικρότερος $m = 3^2\cdot 5^2= 225$ .

Edit: Πρόσθεσα ένα πεντάρι που παρέλειψα.

#3

mick7 έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 4:55 pm Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος $\displaystyle m$ ώστε o $\displaystyle m\cdot5!$ να είναι τέλειος κύβος

(Άσκηση απο Περιοδικό)

Θέλουμε $\displaystyle {n^3} = 120m.$ Ο

πρέπει να τελειώνει σε

και να είναι πολλαπλάσιο του

Ο μικρότερος είναι ο 30.

$\displaystyle {30^3} = 120m \Leftrightarrow m = 225.$

stranger · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 5:32 pm
mick7 έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 4:55 pm Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος $\displaystyle m$ ώστε o $\displaystyle m\cdot5!$ να είναι τέλειος κύβος

$5! = 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 = 2^3\cdot 3 \cdot 5$ . Οπότε για να γίνει τέλειος κύβος (ισοδύναμα όλοι οι πρώτοι παράγοντες πρέπει να είναι υψωμένοι σε δύμναμη η οποία είναι πολλαπλάσιο του ) είναι απαραίτητο να συμπληρώσουμε τουλάχιστον έναν παράγοντα και έναν . Άρα ο μικρότερος $m = 3^2\cdot 5= 45$ .

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου.
Σας έφυγε ένα 5αρι. Φυσικά δεν επηρεάζει την απόδειξη μιας και ο συλλογισμός σας είναι απόλυτα σωστός.

#5

stranger έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 5:49 pm Σας έφυγε ένα 5αρι.

Σωστά. Τώρα το πρόσθεσα. Ευχαριστώ.

Κύβος

Κύβος

Re: Κύβος

Re: Κύβος

Re: Κύβος

Re: Κύβος

Μέλη σε σύνδεση