Μόνο θετικοί ακέραιοι

KARKAR · #1

Βρείτε δύο θετικούς ακεραίους m,n

, για τους οποίους ισχύει : $\dfrac{m+1}{n+4}=\dfrac{n}{m}$

Υπάρχει άραγε άλλο τέτοιο ζεύγος ;

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 03, 2022 9:48 am Βρείτε δύο θετικούς ακεραίους , για τους οποίους ισχύει : $\dfrac{m+1}{n+4}=\dfrac{n}{m}$

Υπάρχει άραγε άλλο τέτοιο ζεύγος ;

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 03, 2022 9:48 am Βρείτε δύο θετικούς ακεραίους , για τους οποίους ισχύει : $\dfrac{m+1}{n+4}=\dfrac{n}{m}$

Υπάρχει άραγε άλλο τέτοιο ζεύγος ;

Δεν κατανοώ γιατί η άσκηση είναι στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Τέτοιου είδους ασκήσεις είναι αρκετά γνωστές σε εισαγωγική Θεωρία Αριθμών ή στα περί αρρήτων. Ας είναι, προχωράμε.

Μία λύση είναι η $m=3,\, n=2$ . Θα δούμε ότι είναι η μοναδική:

Η σχέση γράφεται n^2+4n-(m^2+m) =0

. Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα 4(m^2+m+4)

. Άρα πρέπει το m^2+m +4

να είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως m^2< m^2+m+4 < (m+2)^2

. Τα δύο άκρα είναι τέλεια τετράγωνα δύο αριθμών που διαφέρουν κατά δύο. Άρα ο μεσαίος είναι τέλειο τετράγωνο μόνο αν m^2+m+4=(m+1)^2

, οπότε

. To αντίστοιχο

είναι το

.

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος.

KARKAR · #4

Ας δούμε λοιπόν το ίδιο ερώτημα για την : $\dfrac{m+1}{n+10}=\dfrac{n}{m}$

Υπάρχει άραγε σ' αυτή την περίπτωση , άλλο τέτοιο ζεύγος ;

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 03, 2022 1:41 pm Ας δούμε λοιπόν το ίδιο ερώτημα για την : $\dfrac{m+1}{n+10}=\dfrac{n}{m}$

Υπάρχει άραγε σ' αυτή την περίπτωση , άλλο τέτοιο ζεύγος ;

Αν ακολουθήσουμε τον ίδιο δρόμο με αυτόν του Μιχάλη, βρίσκουμε: $\displaystyle{m^2 +m -(n^2 +10n)=0}$ , (1). Η διακρίνουσα είναι
$\displaystyle{D=4n^2 +40n +1}$ .
Παρατηρούμε ότι για κάθε $\displaystyle{n>20}$ , ισχύει $\displaystyle{(2n+9)^2 <4n^2 +40n +1 < (2n+10)^2}$ .
Άρα ο $\displaystyle{n}$ που ζητάμε πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με το $\displaystyle{20}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι ο $\displaystyle{n}$ αποκλείεται να λήγει σε $\displaystyle{2}$ ή $\displaystyle{3}$ ή $\displaystyle{7}$ ή $\displaystyle{8}$ , γιατί τότε η $\displaystyle{D}$ λήγει σε $\displaystyle{7}$ , οπότε
δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω λοιπόν ότι ο $\displaystyle{n}$ λήγει σε $\displaystyle{0}$ (και είναι μικρότερος ή ίσος του $\displaystyle{20}$ .
Εξετάζουμε λοιπόν πρώτα τις τιμές $\displaystyle{n=0 , n=10 , n=20}$
Για $\displaystyle{n=0}$ , είναι $\displaystyle{D=1}$ . Τότε όμως η (1) γράφεται $\displaystyle{m^2 +m=0}$ και δεν έχει θετική ακέραια λύση
Για $\displaystyle{n=10}$ , είναι $\displaystyle{D=801}$ , που όμως δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Για $\displaystyle{n=20}$ , είναι $\displaystyle{D=2401 =49^2}$ και τότε η (1) δίνει την λύση $\displaystyle{n=20 , m=24}$

Στη συνέχεια εξετάζουμε τι συμβαίνει όταν o $\displaystyle{n}$ λήγει σε $\displaystyle{1}$
Για $\displaystyle{n=1}$ , είναι $\displaystyle{D=45}$ , απορρίπτεται
Για $\displaystyle{n=11}$ είναι $\displaystyle{D=925}$ , απορρίπτεται

Ομοίως εξετάζουμε όταν $\displaystyle{n=4 , 14 , 5 , 15 , 6 , 16 , 9 , 19}$

Για $\displaystyle{n=4,}$ βρίσκουμε $\displaystyle{m=7}$ . (Οι άλλες τιμές ομοίως ελέγχονται)
Δηλαδή δύο τουλάχιστον ζεύγη είναι τα $\displaystyle{(n , m) = (20,24) , (n , m) = (4 , 7)}$

gbdalako · #6

Μία πιο σύντομη λύση είναι να γράψουμε την εξίσωση σαν διαφορά τεραγώνων αφού πολλαπλασιάσουμε με 4: (2n+10)^2-(2m+1)^2=99

ή

και βλέπουμε ότι το ζεύγος (a+b,a-b)

είναι (99,1) ή (33,3) ή (11,9) (οι μόνοι διαιρέτες του 99) Άρα (a,b)

είναι (50,49) ή (18,15) ή (10,1)
Άμεσα προκύπτουν όλες οι λύσεις: (20,24) ή (4,7) για θετικά m,n.

Μόνο θετικοί ακέραιοι

Μόνο θετικοί ακέραιοι

Re: Μόνο θετικοί ακέραιοι

Re: Μόνο θετικοί ακέραιοι

Re: Μόνο θετικοί ακέραιοι

Re: Μόνο θετικοί ακέραιοι

Re: Μόνο θετικοί ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση