Κακορρίζικο

KARKAR · #1

Ας δείξουμε με πολλούς τρόπους , ότι το πολυώνυμο : x^4+x^3+x^2+x+6

, δεν έχει ρίζες

Λάμπρος Κατσάπας · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 07, 2023 11:36 am
Ας δείξουμε με πολλούς τρόπους , ότι το πολυώνυμο : , δεν έχει ρίζες

Είναι

Αρκεί να δούμε τι συμβαίνει στο [-1,0].

Είναι

$-1/4\leq x(x+1)\leq 0$ και $1\leq x^2+1\leq 2$ . Άρα $x(x+1)(x^2+1)\geq -1/2$

και έχουμε τελειώσει.

Σημείωση Δεν είναι άσκηση διασκεδαστικών μαθηματικών αυτή. Δεν διευκολύνουμε τους αναγνώστες να αναζητήσουν τις κατάλληλες ασκήσεις στους κατάλληλους φακέλους.

Τσιαλας Νικολαος · #3

Έχουμε

Άρα και το αρχικό πολυώνυμο είναι θετικό

Τσιαλας Νικολαος · #4

Και μια λύση που έχει "απασχολήσει" πολλές φορές το forum μας...
Προφανώς το

δεν είναι μηδέν.
Το πολυώνυμο γράφεται x^2x^2+x^2x+x^2+x+6

Άρα

Επομένως δεν έχει λύσεις (πραγματικές).

Λάμπρος Κατσάπας · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 07, 2023 11:36 am
Ας δείξουμε με πολλούς τρόπους , ότι το πολυώνυμο : , δεν έχει ρίζες

Για

είναι θετικό.

Για $x\neq 1$ έχουμε

$x^4+x^3+x^2+x+6=\dfrac{x^5-1}{x-1}+5>0$ αφού x^5-1

και

ομόσημα.

#6

α) Aν $x\ge 0$ η παράσταση είναι θετική.

β) Αν $0>x \ge -1$ , τότε $x+1\ge 0, x^2(x+1) \ge 0$ , $x^4\ge 0$ και 5>0

. Προσθέτω τώρα κατά μέλη και διαπιστώνω ότι η παράσταση είναι

γ) Αν

, τότε

ως γινόμενο αρνητικών, ομοίως x^3(x+1) >0

, και

. Προσθέτω τώρα κατά μέλη και διαπιστώνω ότι η παράσταση είναι

KARKAR · #7

Αφορμή για την άσκηση ήταν μια του σχολικού : "Δείξτε ότι το πολυώνυμο : x^5+5x-6

, έχει μοναδική ρίζα " .

Η ρίζα είναι φυσικά το x=1

και είναι μοναδική αφού : f'(x)=5(x^4+1)>0

. Άρα το πολυώνυμο γράφεται :

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+6)

, επομένως το : x^4+x^3+x^2+x+6

, δεν έχει ρίζα , ( αφού τότε

το αρχικό θα είχε τουλάχιστον δύο ) .

Η άλλη λύση που σκέφθηκα , ήταν η δεύτερη του Λ. Κατσάπα αλλά ήμουν βέβαιος ότι θα προκύψουν κι άλλες

#8

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 07, 2023 12:11 pm
Σημείωση Δεν είναι άσκηση διασκεδαστικών μαθηματικών αυτή. Δεν διευκολύνουμε τους αναγνώστες να αναζητήσουν τις κατάλληλες ασκήσεις στους κατάλληλους φακέλους.

Συμφωνώ απόλυτα. Η πρακτική του να βαφτίζουμε Διασκεδαστικά Μαθηματικά θέματα ακραιφνώς παραδοσιακών Μαθηματικών αποπροσανατολίζει τους μαθητές μας. Δίνουμε λάθος μηνύματα. Στρεβλώνουμε την πραγματικότητα.

Το θέμα αυτό το έχω επισημάνει πάμπολλες φορές, σε ανάλογες περιπτώσεις. Βλέπε π.χ. εδώ.

Κακορρίζικο

Κακορρίζικο

Re: Κακορρίζικο

Re: Κακορρίζικο

Re: Κακορρίζικο

Re: Κακορρίζικο

Re: Κακορρίζικο

Re: Κακορρίζικο

Re: Κακορρίζικο

Μέλη σε σύνδεση