ΘΜΤ

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Απάντηση
mick7
Δημοσιεύσεις: 1436
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

ΘΜΤ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Πέμ Ιούλ 23, 2020 12:39 am

Δεν έχω λύση. :?: :idea:

Εικόνα


Λέξεις Κλειδιά:
ΘΜΤ
Κορυφή
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ

Re: ΘΜΤ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ » Πέμ Ιούλ 23, 2020 1:54 pm

Με συγχωρείτε αλλά διαγράφω τη λύση μου λόγω λάθους. Ευχαριστώ τον κύριο Βισβίκη για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ σε Πέμ Ιούλ 23, 2020 3:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14793
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΜΤ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 23, 2020 2:09 pm

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 1:54 pm
Αν θυμάμαι καλά, ο αρμονικός μέσος δύο αριθμών a,b ισούται με \frac{1}{a}+\frac{1}{b} ...
Ο αρμονικός μέσος είναι \displaystyle \frac{{2ab}}{{a + b}}


Κορυφή
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 848
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΘΜΤ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:42 pm

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 12:39 am
 Δεν έχω λύση. :?: :idea:

Εικόνα

Καλησπέρα.

Τι σημαίνει ''με εφαρμογή του ΘΜΤ παίρνουμε το τον αρμονικό μέσο των a και b'' ;

Για ποια a,b και σε ποιο σύνολο θέλουμε να ισχύει η ιδιότητα; Για οποιαδήποτε ή για κάποια;

Εν τέλει, μπορούμε να δώσουμε μια αυστηρή μαθηματική διατύπωση του προβλήματος; Για να ξέρουμε τι να ψάξουμε...


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18261
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΘΜΤ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:42 pm

Δεν μου είναι σαφές από την διατύπωση του ερωτήματος αν πρέπει το ζητούμενο να ισχύει για όλα τα a<b ή για κάποιο δοθέν ζεύγος (Αν είναι μόνο για δοθέντα a,b, τότε η άσκηση είναι τετριμμένη). Περιττό να τονίσω ότι στις διατυπώσεις θεωρημάτων ή προβλημάτων πρέπει ΠΑΝΤΑ να διευκρινίζονται οι ποσοδείκτες.

Πιστεύω ότι η σωστή διατύπωση είναι

Να βρεθούν όλες παραγωγίσιμες οι συναρτήσεις f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R για τις οποίες κάθε ζεύγος a<b πραγματικών των οποίων έχει νόημα ο αρμονικός μέσος \xi =\dfrac {2ab}{a+b} , ικανοποιεί

\displaystyle{ f(b)-f(a) = f'\left ( \xi \right ) (b-a) }

Edit: Τι σύμπτωση, έγραφα συγχρόνως με τον Λάμπρο διατυπώνοντας ακριβώς την ίδια ένσταση.


Κορυφή
mick7
Δημοσιεύσεις: 1436
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: ΘΜΤ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιούλ 27, 2020 2:56 pm

Ναι αυτό ήθελα να πω...ευχαριστώ για την διόρθωση. Έχω την εντύπωση ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί το ερώτημα... :idea:
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:42 pm

Πιστεύω ότι η σωστή διατύπωση είναι

Να βρεθούν όλες παραγωγίσιμες οι συναρτήσεις f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R για τις οποίες κάθε ζεύγος a<b πραγματικών των οποίων έχει νόημα ο αρμονικός μέσος \xi =\dfrac {2ab}{a+b} , ικανοποιεί

\displaystyle{ f(b)-f(a) = f'\left ( \xi \right ) (b-a) }

Edit: Τι σύμπτωση, έγραφα συγχρόνως με τον Λάμπρο διατυπώνοντας ακριβώς την ίδια ένσταση.


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18261
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΘΜΤ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 27, 2020 3:54 pm

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 2:56 pm
 Έχω την εντύπωση ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί το ερώτημα... :idea:
Σίγουρα όλες οι συναρτήσεις της μορφής f(x)=px+q, για δεδομένους πραγματικούς p,q, ικανοποιούν την συνθήκη. Το ερώτημα είναι αν υπάρχουν άλλες.

Με τρώει η περιέργεια: Από που είναι η άσκηση;


Κορυφή
mick7
Δημοσιεύσεις: 1436
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: ΘΜΤ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιούλ 27, 2020 4:10 pm

Πως προκύπτει ο αρμονικός μέσος..? Μάλλον κάτι χάνω... :?
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 3:54 pm

Σίγουρα όλες οι συναρτήσεις της μορφής f(x)=px+q, για δεδομένους πραγματικούς p,q, ικανοποιούν την συνθήκη. Το ερώτημα είναι αν υπάρχουν άλλες.

Με τρώει η περιέργεια: Από που είναι η άσκηση;


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18261
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΘΜΤ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 27, 2020 4:28 pm

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 4:10 pm
 Πως προκύπτει ο αρμονικός μέσος..? Μάλλον κάτι χάνω... :?
Η f(x)=px+q ικανοποιεί f'(x)=p για κάθε x. Αυτί είναι σημαντικό! ΄

Τώρα, για οποιοδήποτε \xi, και ειδικά για τον αρμονικό μέσο \frac {2ab}{a+b}, έχουμε

f(b)-f(a)=(pb+q)-(pa+q)=p(b-a) = f'(otidipote)(b-a)=f'\left (\frac {2ab}{a+b} \right ) (b-a). Δηλαδή ισχύει η ζητούμενη (και μάλιστα ισχύει με περίσσευμα).


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: ΘΜΤ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιούλ 27, 2020 4:37 pm

Για a=0 και b=x \neq 0 είναι \xi = 0 οπότε πρέπει f(x) = f(0) + xf'(0). Η συγκεκριμένη ικανοποιείται και για x=0 οπότε η f είναι γραμμική. Όπως έχει ήδη παρατηρήσει ο Μιχάλης, οποιαδήποτε γραμμική ικανοποιεί τη συνθήκη.

Αν απαγορεύσουμε την επιλογή a=0 αφού κανονικά είναι \displaystyle \xi = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} τότε για b=x και a = \frac{tx}{2x-t} όπου t \neq 2x είναι \xi = t και παίρνουμε \displaystyle f'(t) = \frac{f(x) - f\left(\frac{tx}{2x-t} \right)}{x} Άρα το \lim_{t \to 0} f'(t) υπάρχει και από l'Hôpital πρέπει \displaystyle f'(0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)-f(0)}{t} = \lim_{t \to 0} f'(t). Παίρνοντας όρια καταλήγουμε πάλι στην ίδια εξίσωση και το ίδιο συμπέρασμα.


Κορυφή
mick7
Δημοσιεύσεις: 1436
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: ΘΜΤ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιούλ 27, 2020 4:49 pm

Παρατηρώντας για την f(x)=x^2 εφαρμόζοντας το ΘΜΤ στο (a,b) παίρνουμε τον αριθμητικό μέσο

f(b)-f(a)=(2c)(b-a)\Rightarrow b^2-a^2=(2c)(b-a)\Rightarrow c=\frac{a+b}{2}

Το ίδιο για την f(x)=\frac{1}{x} παίρνουμε τον γεωμετρικό μέσο

f(b)-f(a)=(-\frac{1}{c^2})(b-a)\Rightarrow \frac{1}{b} -\frac{1}{a}=(-\frac{1}{c^2})(b-a)\Rightarrow c=\sqrt{ab}

Ψάχνω λοιπόν την συνάρτηση που δίνει τον αρμονικό μέσο δηλαδή c=\frac{2ab}{a+b} όπως παραπάνω.

ΥΓ/ Μάλλον αυτό έπρεπε να γράψω από την αρχή... :wallbash:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: ΘΜΤ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιούλ 27, 2020 4:53 pm

Μα έχω δείξει πιο πάνω ότι μόνο η γραμμική ικανοποιεί το συγκεκριμένο. Με μόνη διαφορά ότι το c δεν καθορίζεται μονοσήμαντα. Όλα τα c \in (a,b) ικανοποιούν. Αλλά άλλη τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.


Κορυφή
mick7
Δημοσιεύσεις: 1436
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: ΘΜΤ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιούλ 27, 2020 5:34 pm

Κατανοητό τώρα...Ευχαριστώ. :clap2:
Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 4:53 pm
 Μα έχω δείξει πιο πάνω ότι μόνο η γραμμική ικανοποιεί το συγκεκριμένο. Με μόνη διαφορά ότι το c δεν καθορίζεται μονοσήμαντα. Όλα τα c \in (a,b) ικανοποιούν. Αλλά άλλη τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης