Όλα μαζί

mick7 · #1

Ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος στο τετράγωνο και το κίτρινο είναι ορθογώνιο με διαστάσεις 8χ4 .Ο κύκλος και το ορθογώνιο τέμνονται σε ένα σημείο όπως φαίνεται (με κάποια προσπάθεια) στο σχήμα. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.
(Απο ξένο περιοδικό)

#2

: Όλα μαζί.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές

Με Πυθαγόρειο βρίσκω $\displaystyle AC = \sqrt {{R^2} - 16R + 80} ,AB = \sqrt {{R^2} - 8R + 80}$ και με νόμο συνημιτόνων στο ABC:

$\displaystyle 8(3R - 20) = \sqrt {{R^2} - 16R + 80} \cdot \sqrt {{R^2} - 8R + 80} \cdot \sqrt 2,$ απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{R=20 \rm cm}$

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 20, 2022 3:17 pm
Ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος στο τετράγωνο και το κίτρινο είναι ορθογώνιο με διαστάσεις 8χ4 .Ο κύκλος και το ορθογώνιο τέμνονται σε ένα σημείο όπως φαίνεται (με κάποια προσπάθεια) στο σχήμα. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.
(Απο ξένο περιοδικό)

: Ολα μαζί ένα.png (16.6 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

Κλασσική περίπτωση Απολλώνιου κύκλου που διέρχεται από ένα σημείο και εφάπτεται δύο ευθειών που αυτό τελικά ανάγεται στο πρόβλημα

$\Sigma .\Sigma .{\rm E}.$ ( Σημείο-Σημείο-Ευθεία)

#4

Eύκολα βλέπουμε (με διάφορους απλούς τρόπους) ότι $\theta +\phi =45^o$ . Άρα

$\displaystyle{1=\tan (\theta + \phi) = \dfrac {\tan \theta + \tan \phi}{1-\tan \theta \tan \phi}= \dfrac {\dfrac {4}{R-8} + \dfrac {8}{R-4}}{1- \dfrac {4}{R-8} \dfrac {8}{R-4}}= \dfrac {12R-80}{R^2-12R}}$ .

Άρα R^2-24R-80=0

από όπου

(απορρίπτεται) ή R=20

.
.

KARKAR · #5

: Όλα.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Εργάζομαι στο πάνω δεξιά τετράγωνο με

το κέντρο του αρχικού τετραγώνου . Ο νόμος

του συνημιτόνου στο τρίγωνο AEM

, δίνει :

,

δηλαδή : R^2-24R+80=0

, με ρίζες τις

και

( δεκτή η δεύτερη , αφού R>8

) .

#6

Στην προηγούμενη λύση έκανα τα εύκολα, δύσκολα.

Πιο απλά, από το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές $R,\, R-4,\, R-8$ έχουμε (R-4)^2+(R-8)^2=R^2

. Άρα

#7

Προσοχή ! Λάθος λύση (Βλέπε επόμενη δημοσίευση)
$\displaystyle \frac{1}{5}R = 4 \Rightarrow R = 20$

#8

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 10:28 pm
$\displaystyle \frac{1}{5}R = 4 \Rightarrow R = 20$

Γιώργο, χάνω κάτι;

Πώς ξέρεις ότι η ακτίνα χωρίζεται σε 5 ίσα μέρη το καθένα μήκους

; Δεν είναι ισοδύναμο με το αποδεικτέο;

mathematica.gr

Όλα μαζί

Όλα μαζί

Re: Όλα μαζί

Re: Όλα μαζί

Re: Όλα μαζί

Re: Όλα μαζί

Re: Όλα μαζί

Re: Όλα μαζί

Re: Όλα μαζί

Μέλη σε σύνδεση