Αν υπάρχει , φτιάξτο

[KARKAR]

Αν υπάρχει , φτιάξτο.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Στο ερώτημα αν υπάρχει τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , πιθανόν να απαντήσετε :

ΝΑΙ . Σ' αυτήν την περίπτωση , όμως , πρέπει να δώσετε ένα παράδειγμα

[Mihalis_Lambrou]

Στο ερώτημα αν υπάρχει τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , πιθανόν να απαντήσετε :

ΝΑΙ . Σ' αυτήν την περίπτωση , όμως , πρέπει να δώσετε ένα παράδειγμα

Υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Ας δούμε μία υπαρξιακή απόδειξη.

Σε γωνία φέρνουμε μία τριχοτόμο της και πάνω της παίρνουμε σταθερό σημείο . Παίρνουμε τώρα ένα μεταβλητό σημείο στην μία (ας την πούμε πρώτη) πλευρά της γωνίας, και φέρνουμε την .

Όταν το είναι στην θέση όπου η είναι σχεδόν παράλληλη της άλλης (δεύτερης) πλευράς της γωνίας, έχουμε (διότι η μπορεί να γίνει όσο μεγάλη θέλουμε). Αν πάλι είναι στην θέση όπου η είναι σχεδόν παράλληλη πρώτης πλευράς της γωνίας, έχουμε . Από συνέχεια υπάρχει ένα σημείο ανάμεσα στα και για το οποίο έχουμε . Άρα το τρίγωνο έχει τις ζητούμενες ιδιότητες.

[george visvikis]

Αν υπάρχει , φτιάξτο.pngΣτο ερώτημα αν υπάρχει τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , πιθανόν να απαντήσετε :

ΝΑΙ . Σ' αυτήν την περίπτωση , όμως , πρέπει να δώσετε ένα παράδειγμα

Ναι! Το τρίγωνο του σχήματος έχει κατασκευαστεί με

Ας δούμε όμως πιο αναλυτικά πώς φτάσαμε σ' αυτό το συμπέρασμα.

Αν υπάρχει φτιάξτο.png (9.12 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Έστω ότι το τρίγωνο κατασκευάστηκε. Με νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα κι επειδή οι γωνίες

έχουν το ίδιο ημίτονο και προκύπτει η σχέση

Κατασκευάζω λοιπόν ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετη πλευρά υποτείνουσα και περιεχομένη

γωνία Στη συνέχεια φέρνω τμήμα εκατέρωθεν της ώστε Το τρίγωνο

είναι το ζητούμενο και αν η τέμνει τη στο εύκολα διαπιστώνουμε ότι

[Mihalis_Lambrou]

Το παραπάνω (στο ποστ #) λέει ότι για κάθε μπορούμε να βρούμε ένα τρίγωνο με τις ζητούμενες ιδιότητες. Ας δούμε όμως ένα συγκεκριμένο τρίγωνο, με χειροποιαστά νούμερα. Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία στην περίπτωση (ώστε το βασικό τρίγωνο να είναι ορθογώνιο) και λύνοντας κάποιες εξισώσεις καταλήγω στο παρακάτω.

Παίρνω ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές , οπότε η υποτεινουσα είναι . Ισχυρίζομαι ότι οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας διαιρούν την υποτείνουσα σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου, εδώ και .

Πράγματι, από τον Νόμο των Ημιτόνων στο έχουμε





και άρα , όπως θέλαμε.
.

[Doloros]

Αν υπάρχει , φτιάξτο.pngΣτο ερώτημα αν υπάρχει τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , πιθανόν να απαντήσετε :

ΝΑΙ . Σ' αυτήν την περίπτωση , όμως , πρέπει να δώσετε ένα παράδειγμα

Φιάξτο αν μπορείς.png (26.81 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Έχω τις ημιευθείες με Πάνω στην θεωρώ τα σημεία με .

Φέρνω από το παράλληλη στην και τέμνει την στο . Η τέμνει την στο .


Το είναι αυτό που θέλω .

[Mihalis_Lambrou]

Στο ερώτημα αν υπάρχει τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , πιθανόν να απαντήσετε :

ΝΑΙ . Σ' αυτήν την περίπτωση , όμως , πρέπει να δώσετε ένα παράδειγμα

Πολλή ωραία η αφοπλιστικά απλή κατασκευή του Νίκου στο αμέσως προηγούμενο ποστ. Σε αυτήν, δίνεται η γωνία και κατασκευάζεται η πλευρά του ζητούμενου τριγώνου. Δίνω μία κατασκευή που ακολουθεί την αντίθετη πορεία, δηλαδή δίνεται η και κατασκευάζεται η γωνία.

'Εστω δοσμένη με το σημείο να την μερίζει σε λόγο (ή οποιονδήποτε άλλο). Παίρνουμε τυχαίο σημείο μεταξύ των και . Σχεδιάζουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ο κύκλος του Απολλωνίου) των σημείων που βλέπουν τα υπό ίσες γωνίες. Δηλαδή είναι ο κύκλος με διάμετρο , όπου το σημείο στην όπου



Έχουμε λοιπόν .

Όμοια, σχεδιάζουμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που βλέπουν τα υπό ίσες γωνίες. Δηλαδή είναι ο κύκλος με διάμετρο , όπου το σημείο στην όπου



Έχουμε λοιπόν .

Άρα το σημείο όπου τέμνονται οι δύο γεωμετρικοί τόποι, έχουμε την ζητούμενη κορυφή.
.