Διπλός γεωμετρικός τόπος

[KARKAR]

Διπλός γεωμετρικός τόπος.png (16 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Το είναι σταθερό σημείο του κύκλου , ενώ το κινείται σ' αυτόν . Με βάση την χορδή

, σχεδιάζουμε το ορθογώνιο , εμβαδού τετραγωνικών μονάδων .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του . Αν σας φάνηκα δύσκολο , βρείτε και τον γεωμετρικό του .

[Mihalis_Lambrou]

Διπλός γεωμετρικός τόπος.pngΤο είναι σταθερό σημείο του κύκλου , ενώ το κινείται σ' αυτόν . Με βάση την χορδή

, σχεδιάζουμε το ορθογώνιο , εμβαδού τετραγωνικών μονάδων .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του . Αν σας φάνηκα δύσκολο , βρείτε και τον γεωμετρικό του .

diplos topos.png (16.89 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

.

α) Προεκτείνουμε την μέχρι να τμήσει την διάμετρο. Δεδομένου ότι , η προέκταση αυτή θα περάσει από το αριστερό άκρο της διαμέτρου. Φέρνουμε τώρα την κάθετη .

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε

. Άρα (σταθερό). Συνεπώς το διαγράφει ευθεία σε απόσταση πάνω από την διάμετρο. Την κόκκινη. Λεπτομερέστερα, διαγράφει την δεξιά ημιευθεία καθώς το κινείται στο άνω ημικύκλιο, και την υπόλοιπη αλλιώς.

β) Ο τόπος του θέλει Αναλυτική Γεωμετρία καθώς είναι μία περίεργη καμπύλη. Θα επανέλθω.


Σχόλιο: Ας τονίσω κάτι που έχω γράψει πάρα πολλές φορές σε ανάλογη περίσταση: Δεν βλέπω καμία, μα καμία, σχέση της άσκησης με τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά, όσο και αν διαστείλω την σκέψη μου. Καλό είναι να μην από προσανατολίζουμε τους μαθητές μας με εσφαλμένες πληροφορίες. Δεν θα κουραστώ ποτέ να το λέω αυτό όπως ακριβώς, τηρουμένων των αναλογιών, ένας επιστήμονας δεν πρέπει ποτέ να σταματήσει να αντιστέκεται στην αστρολογία κάθε φορά που την συναντά. Είναι χρέος του να μεριμνά ώστε όποτε παραπληροφορείται το κοινό, να το επισημαίνει. Στην περίπτωσή μας, το γεγονός ότι η καμπύλη του δεύτερου τόπου είναι περίεργη, ΔΕΝ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙ την ανάρτηση της άσκησης στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Είναι σαν να θέλουμε να βαφτίσουμε Διασκεδαστικά Μαθηματικά τις περίεργες καμπύλες όπως τον Λημνίσκο του Bernoulli ή την Λογαριθμική σπείρα, ή την κισσοειδή του Διοκλέους. ΔΕΝ ΣΤΕΚΕΙ ΜΕ ΤΙΠΟΤΑ.

[Mihalis_Lambrou]

diplos topos 2.png (39.97 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

Για τον τόπο του , μόνο τα βήματα γιατί οι πράξεις είναι απαγορευτικές.

Έστω οι συντεταγμένες του τυπικού σημείου. Μπορούμε τότε να βρούμε τις συντεταγμένες του . Θα βγει

από όπου μπορούμε να βρούμε τα μήκη . Οι παραστάσεις είναι μεγάλες, αλλά θέμα ρουτίνας (δεν το κάνω).

Τώρα η συνήκη του εμβαδού γράφεται , δηλαδή , ισοδύναμα

.

Αυτός είναι ο ζητούμενος τόπος, σε πεπλεγμένη μορφή.

Είναι ευκολότερο να είχα εργαστεί με πολικές συντεταγμένες, αλλά το θεώρησα έξω από τις γνώσεις των μαθητών, και δυσανάλογο με το πρώτο μέρος της άσκησης.

Η εικόνα παραπάνω είναι Print Screen του τόπου, όπως την σχεδίασε ένα λογισμικό.

[Mihalis_Lambrou]

Είναι ευκολότερο να είχα εργαστεί με πολικές συντεταγμένες

.

diplos topos 3.png (16.76 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

.
Ας δούμε (εκτός ύλης) τον γ.τ. του με χρήση πολικών συντεταγμένων.

Ως αρχή των αξόνων παίρνουμε το αριστερό άκρο της διαμέτρου. Οι συντεταγμένες του είναι , αλλά αλλάζω το σύμβολο της ακτίνας του κύκλου σε για να μην έχουμε το με δύο έννοιες.

Είναι εξ υποθέσεως , ισοδύναμα , άρα (*), οπότε



Μπορούμε να το μετατρέψουμε σε Καρτεσιανές: Από την (*) πολλαπλασιάζοντας επί και με χρήση των έχουμε

οπότε , ισοδύναμα



Με αυτές τις εξισώσεις το λογισμικό μου έδωσε το παρακάτω γράφημα. Είναι το ίδιο με το προηγούμενο αλλά έγινε με τελείως άλλη μέθοδο. Το ένα έγινε με "trace on" του Geogebra, και το άλλο με σχεδιαστικό από τις εξισώσεις.