H Coka Cola του ΘΩΜΑ

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2318
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

H Coka Cola του ΘΩΜΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Οκτ 23, 2010 6:38 pm

Ο Θωμάς καθώς έπινε Coca Cola μετακίνησε το ποτήρι του πάνω στο τραπέζι έτσι που η περιφέρεια του ποτηριού πέρασε από το κέντρο του κύκλου που είχε σχηματίσει την πρώτη φορά.
Ύστερα μετακίνησε μια φορά ακόμη το ποτήρι έτσι που η περιφέρεια του ποτηριού πέρασε από τα κέντρα των δύο προηγούμενων κύκλων. Το κοινό μέρος των κύκλων που σχημάτισε το ποτήρι πάνω στο τραπέζι έχει εμβαδό μικρότερο ή μεγαλύτερο από το ¼ του εμβαδού της βάσης του ποτηριού;



Καλό Σαββατόβραδο στους φίλους
Συνημμένα
LEKES.PNG
LEKES.PNG (47.88 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: H Coka Cola του ΘΩΜΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 23, 2010 9:10 pm

Σπύρο το σχήμα μου θυμίζει πολλά, αυτό που λέγεται είναι ο κινητήρας του Mazda RX8, τριγωνικός (καμπυλόγραμμο τρίγωνο)!

Η ερώτηση για την κόκα κόλα του Θωμά είναι παγίδα;

Έχω λύση (νομίζω), την αφήνω για λίγο καιρό στους αγαπητούς μαθητές μας, που έχουν εξαφανιστεί από το :logo: , ετοιμάζονται μάλλον για τον "Θαλή"!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: H Coka Cola του ΘΩΜΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Σάβ Οκτ 23, 2010 9:12 pm

Ωπ! κατι ειπε ο Μακης....το εφτιαξα ....το περναω.
Capture.PNG
Capture.PNG (6.89 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int  \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x}  \imath T y
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: H Coka Cola του ΘΩΜΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 23, 2010 11:35 pm

Αγαπητέ maths-!³,

σωστά υπολόγισες. Το μόνο "λάθος" είναι ότι λόγω βιασύνης έβαλες ... τόνους στην τελευταία αράδα. Μια καλή αρχή!

Έστω r η ακτίνα της βάσης του ποτηριού.
Έστω Ο, Κ, Λ τα κέντρα των τριών κύκλων. Οι διάκεντροι ΟΚ, ΟΛ, ΚΛ είναι ίσες με την ακτίνα r, οπότε το ισόπλευρο τρίγωνο ΟΚΛ έχει εμβαδό: \displaystyle 
\frac{{r^2 \sqrt 3 }}{4}

Το κυκλικό τμήμα (Ο, ΚΛ) έχει εμβαδόν \displaystyle 
\frac{{\pi r^2 }}{6} - \frac{{r^2 \sqrt 3 }}{4}, οπότε η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν: \displaystyle 
3\frac{{\pi r^2 }}{6} - 2\frac{{r^2 \sqrt 3 }}{4} = \frac{{r^2 }}{2}\left( {\pi  - \sqrt 3 } \right)

Είναι: \displaystyle 
\sqrt 3  > \frac{\pi }{2}\; \Rightarrow \;\;\frac{\pi }{2} > \pi  - \sqrt 3 \; \Rightarrow \;\frac{{\pi r^2 }}{4} > \frac{{r^2 \left( {\pi  - \sqrt 3 } \right)}}{2}\; \Rightarrow \frac{1}{4}{\rm E}_{\kappa \upsilon \kappa \lambda o\upsilon }  > {\rm E}_{\gamma \rho \alpha \mu }

Σκέφτομαι όμως, για να το δώσει Σπύρος στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά θα περιμένει μια λύση δίχως υπολογισμούς!
Σκέφτηκα τον περιγεγραμμένο κύκλο στο καμπυλόγραμμο τρίγωνο, αλλά έχει ακτίνα \frac{\sqrt{3}}{3} ελαφρώς μεγαλύτερο από το 0,5 που θα θέλαμε για να αποδείξουμε άμεσα την ανισότητα. (Θέτοντας r = 1, στην αρχική)
Καμμία καλύτερη ιδέα;

Γιώργος Ρίζος

edit: Συμπλήρωσα την παρατήρηση r = 1, με υπόδειξη του Μάκη. Ευχαριστώ!
Συνημμένα
22-10-2010 kykloi.png
22-10-2010 kykloi.png (71.04 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7884
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: H Coka Cola του ΘΩΜΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Οκτ 24, 2010 12:11 am

Έστω Ε το εμβαδόν του κύκλου, Α το εμβαδόν ενός από τα μπλε χωρία, Β το εμβαδόν ενός από τα κόκκινα χωρία και Γ το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου στο σχήμα του Σπύρου. Τότε E = 6A + 12B, \Gamma = A + 3B και άρα E > 4\Gamma.
Συνημμένα
Coca-Cola.png
Coca-Cola.png (44.34 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: H Coka Cola του ΘΩΜΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Οκτ 24, 2010 12:26 am

Δημήτρη, φοβερό!

Όμως, έχει μια παρενέργεια!
Αν ο Θωμάς καταναλώσει τόσα ποτήρια coca-cola για να πετύχει το σχήμα σου,
θα καταλήξει έτσι:
22-10-2010 koilaras.png
22-10-2010 koilaras.png (124.94 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2318
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: H Coka Cola του ΘΩΜΑ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Οκτ 24, 2010 8:08 am

Εκπληκτική η λύση του Δημήτρη, παρατηρήστε ότι κάθε κύκλος έχει 6 μπλέ χωριά και 12 κόκκινα.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης