Δεν είναι δυνατόν !

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9566
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δεν είναι δυνατόν !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 03, 2013 9:22 pm

Δεν  είναι  δυνατόν !.png
Δεν είναι δυνατόν !.png (5.25 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές
Η πρώτη κατσαρόλα της πάνω σειράς περέχει 5 μαύρες και 6 άσπρες σφαίρες . Η πιθανότητα , λοιπόν ,

να διαλέξουμε μαύρη είναι \displaystyle \frac{5}{11} . Στην πρώτη κατσαρόλα της κάτω σειράς η πιθανότητα είναι \displaystyle \frac{3}{7} , με \displaystyle \frac{5}{11}>\frac{3}{7} .

Όμοια στις δεύτερες κατσαρόλες οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι \displaystyle \frac{6}{9} και \displaystyle \frac{9}{14} , με \displaystyle \frac{6}{9}>\displaystyle \frac{9}{14} .

Στις τρίτες κατσαρόλες ρίξαμε τα περιεχόμενα των δύο πρώτων . Παρατηρήστε ότι τώρα η πιθανότητα

για την πάνω κατσρόλα είναι \displaystyle \frac{11}{20} και για την κάτω \displaystyle \frac{12}{21} , με \displaystyle \frac{11}{20}<\displaystyle \frac{12}{21} !!!


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7722
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δεν είναι δυνατόν !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιαν 08, 2018 4:08 pm

Ονομάζεται παράδοξο του Simpson και ασφαλώς δεν είναι παράδοξο αλλά μπορεί να εξηγηθεί. Απλά αντίκειται στην διαίσθησή μας.

Θα περιγράψω ένα γεγονός που συνέβη πριν αρκετά χρόνια στο Πανεπιστήμιο του Berkeley, όπου φαίνεται πως μπορεί να προκύψει στην πράξη το παράδοξο.

Όταν οι υπεύθυνοι εισδοχής του Berkeley είδαν τα τελικά στατιστικά εισδοχής τρόμαξαν. Ήταν ολοφάνερο ότι υπήρχε ξεκάθαρη μεροληψία υπέρ των αγοριών και φοβούνταν τις μηνύσεις. (Η διαδεδομένη αντίληψη ότι έγιναν μηνύσεις είναι μύθος.) Ανέθεσαν σε έναν μαθηματικό να ερευνήσει το συμβάν και η τελική ετυμηγορία ήταν ότι όχι μόνο δεν υπήρχε ξεκάθαρη μεροληψία υπέρ των αγοριών αλλά υπήρχε μια μικρή μεροληψία υπέρ των κοριτσιών. Τι είχε συμβεί; Σχεδόν κάθε τμήμα ξεχωριστά ήταν αμερόληπτο. Μόνο που τα αγόρια έτειναν να κάνουν αίτηση σε τμήματα με υψηλό ποσοστό εισδοχής όπως το τμήμα Μηχανικής, ενώ τα κορίτσια έτειναν να κάνουν αίτηση σε τμήματα με μικρό ποσοστό εισδοχής όπως αυτό της Αγγλικής Λογοτεχνίας. Τσουβαλιάζοντάς τα όλα μαζί φαινόταν ότι το Πανεπιστήμιο έτεινε να απορρίπτει τα κορίτσια πιο συχνά από τα αγόρια.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10048
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δεν είναι δυνατόν !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 08, 2018 11:08 pm

Εξίσου ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα λεγόμενα ¨μη μεταβατικά ζάρια" (intransitive dice).

Πρόκειται για ζάρια με άλλους αριθμούς αντί τους συνηθισμένους 1-6 όπου το πρώτο ζάρι κερδίζει το δεύτερο (δηλαδή έχει μεγαλύτερη από 50% πιθανότητα να φέρει πιο μεγάλο αριθμό σε μία ρίψη), το δεύτερο κερδίζει το τρίτο, και ενώ θα περίμενε κανείς το πρώτο να κέρδιζε το τρίτο, συμβαίνει το ανάποδο. Τέτοια ζάρια ονομάζονται "ζάρια του Efron".

Παράδειγμα με τέσσερα ζάρια είναι το

A: 3,3,3,3,3,3
B:2, 2,2,2,6,6
C:1,1,1,5,5,5
D:0,0,4,4,4,4

Εδώ A>B>C>D και ώ του θαύματος D>A. Σε κάθε περίπτωση το ζάρι έχει πιθανότητα 2/3 να κερδίσει το επόμενό του, κυκλικά!

Είμαι βέβαιος ότι το Google στην λέξη intransitive dice θα σας βγάλει λαβράκια. Το θέμα είναι καλομελετημένο και υπάρχει π.χ. σε κάποιο από τα βιβλία Διασκεδαστικών Μαθηματικών του Μartin Gardner.

Θυμάμαι ότι κάποτε, για οποιοδήποτε N, είχα κατασκευάσει N ζάρια με A_1>A_2> ... > A_N > A_1. Μου το είχε θέσει ως πρόβλημα
ένας συνάδελφος κατά την διάρκεια μιας βαρετής συνεδρίας. Οι δυο μας αντί να συμμετέχουμε ενεργά στην συζήτηση,... παίζαμε ζάρια.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7722
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δεν είναι δυνατόν !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 09, 2018 4:08 pm

Κάτι σχετικό με τα μη μεταβατικά ζάρια είναι το εξής: Για κάθε n μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο X από ζάρια, ώστε για κάθε υποσύνολο Y του X μεγέθους k, να μπορούμε να βρούμε ζάρι εκτός του Y το οποίο να κερδίζει κάθε ζάρι του X.

Το τίμημα που πρέπει να πληρώσουμε είναι ότι τα ζάρια πρέπει πλέον να έχουν περισσότερες έδρες. Χρειαζόμαστε τουλάχιστον \dfrac{Cn}{\log{n}} έδρες και μπορεί να επιτευχθεί με το πολύ C'n\log{n} έδρες, για κάποιες σταθερές C,C'. Ενδιάμεσα νομίζω δεν ξέρουμε τι γίνεται, αλλά δεν το έχω ψάξει αν έχει βγει κάτι καινούργιο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης