Τρίγωνο από κουτάκια με αριθμούς

#1

Ένα διασκεδαστικό πρόβλημα που έπεσε στα χέρια μου:

Δίνεται το τρίγωνο (από κουτάκια):

$\begin{array}{ccccccc} & & & \Box & & & \\ & & \Box & & \Box & & \\ & \Box & & & & \Box & \\ \Box && \Box && \Box && \Box \\ \end{array}$

Να τοποθετήσετε κατάλληλα τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8,9 στα κουτάκια, ώστε να προκύψει σε κάθε πλευρά άθροισμα
20.
Πόσα τέτοια (διαφορετικά) τρίγωνα μπορούμε να βρούμε;

Νίκος Κατσίπης

k-ser · #2

Νίκο καλημέρα.

Μια προσέγγιση του προβλήματος - μάλλον δύσκολη, δεν βρίσκω κάτι απλούστερο.

Αν x_1,x_2,x_3

με

οι αριθμοί που μπαίνουν στις κορυφές του τριγώνου τότε:
1) Εύκολα δείχνουμε ότι $\color{red}x_1+x_2+x_3=15$ (1)

2)Αν

οι αριθμοί που είναι μεταξύ των x_1,x_2

οι αριθμοί που είναι μεταξύ των x_2,x_3

οι αριθμοί που είναι μεταξύ των x_3,x_1

θα πρέπει:
$\color{red}x_4+x_5=5+x_3$ (2)

$\color{red}x_6+x_7=5+x_1$ (3)

$\color{red}x_8+x_9=5+x_2$ (4)

Οι 3-αδες που ικανοποιούν την (1) είναι οι: (1,5,9) (1,6,8) (2,4,9) (2,5,8) (2,6,7) (3,4,8) (3,5,7) (4,5,6).
Οι ζητούμενες 9-αδες (x_1,x_2,....,x_9)

στις οποίες ισχύει: (x_4<x_5),(x_6<x_7),(x_8<x_9)

θα είναι:
1η (1,5,9,6,8,2,4,3,7)
2η (2,5,8,6,7,3,4,1,9)
3η (2,5,8,4,9,1,6,3,7)
4η (3,5,7,4,8,2,6,1,9)
5η (4,5,6,2,9,1,8,3,7)
6η (4,5,6,3,8,2,7,1,9)
Με εναλλαγή των τιμών των ζευγαριών (x_4,x_5),(x_6,x_7),(x_8,x_9)

θα προκύψουν, για καθεμία από τις παραπάνω 6 9-αδες, συνολικά 8 9-αδες.
Αν επιπλέον μεταθέσουμε και τις τιμές των x_1,x_2,x_3

, εφόσον θεωρήσουμε ότι έχει σημασία και η θέση της κορυφής του τριγώνου όπου αυτές μπαίνουν, θα έχουμε συνολικά: $3!\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 6=288$ λύσεις!

#3

k-ser έγραψε:Νίκο καλημέρα.

Μια προσέγγιση του προβλήματος - μάλλον δύσκολη, δεν βρίσκω κάτι απλούστερο.

Αν με οι αριθμοί που μπαίνουν στις κορυφές του τριγώνου τότε:
1) Εύκολα δείχνουμε ότι $\color{red}x_1+x_2+x_3=15$
2)Αν οι αριθμοί που είναι μεταξύ των
οι αριθμοί που είναι μεταξύ των
οι αριθμοί που είναι μεταξύ των
θα πρέπει:
$\color{red}x_4+x_5=5+x_3$
$\color{red}x_6+x_7=5+x_1$
$\color{red}x_8+x_9=5+x_2$

Οι 3-αδες που ικανοποιούν την (1) είναι οι: (1,5,9) (1,6,8) (2,4,9) (2,5,8) (2,6,7) (3,4,8) (3,5,7) (4,5,6).
Οι ζητούμενες 9-αδες στις οποίες ισχύει: θα είναι:
1η (1,5,9,6,8,2,4,3,7)
2η (2,5,8,6,7,3,4,1,9)
3η (2,5,8,4,9,1,6,3,7)
4η (3,5,7,4,8,2,6,1,9)
5η (4,5,6,2,9,1,8,3,7)
6η (4,5,6,3,8,2,7,1,9)
Με εναλλαγή των τιμών των ζευγαριών θα προκύψουν, για καθεμία από τις παραπάνω 6 9-αδες, συνολικά 8 9-αδες.
Αν επιπλέον μεταθέσουμε και τις τιμές των , εφόσον θεωρήσουμε ότι έχει σημασία και η θέση της κορυφής του τριγώνου όπου αυτές μπαίνουν, θα έχουμε συνολικά: $3!\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 6=288$ λύσεις!

Πολύ ωραία!
Παρόμοια αντιμετώπιση έκανα και εγώ!

Νίκος

Τρίγωνο από κουτάκια με αριθμούς

Τρίγωνο από κουτάκια με αριθμούς

Re: Τρίγωνο από κουτάκια με αριθμούς

Re: Τρίγωνο από κουτάκια με αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση