Αεροδρόμια!
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
-
- Δημοσιεύσεις: 870
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
- Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
- Επικοινωνία:
Αεροδρόμια!
Ένα πρόβλημα - γρίφος, που άκουσα.
Έχω μια δύσκολη λύση. Το αποτέλεσμα: μικρότερο απ' ότι θα περίμενε κανένας!
Ενδεχομένως, κάποιος να σκεφτεί κάτι απλούστερο...
Από όλα τα αεροδρόμια της βαλκανικής απογειώνεται ένα αεροπλάνο και προσγειώνεται στο κοντινότερο αεροδρόμιο.
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός αεροπλάνων που είναι πιθανόν να προσγειωθούν σ' ένα αεροδρόμιο;
Έχω μια δύσκολη λύση. Το αποτέλεσμα: μικρότερο απ' ότι θα περίμενε κανένας!
Ενδεχομένως, κάποιος να σκεφτεί κάτι απλούστερο...
Από όλα τα αεροδρόμια της βαλκανικής απογειώνεται ένα αεροπλάνο και προσγειώνεται στο κοντινότερο αεροδρόμιο.
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός αεροπλάνων που είναι πιθανόν να προσγειωθούν σ' ένα αεροδρόμιο;
Κώστας Σερίφης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αεροδρόμια!
Φαντάζομαι η βαλκανική δεν παίζει ρόλο. (Μην αρχίσουμε να μετρούμε αποστάσεις Αθηνών,Θεσαλλονίκης,Σόφιας κτλ )
Στις ισοπαλίες τι γίνεται; Φαντάζομαι μπορεί να αεροπλάνο να πάει σε οποιοδήποτε από τα κοντινότερά του.
Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω το πολύ 6 αεροπλάνα.
(Στην λύση θεωρώ πως η γη είναι επίπεδη )
Στις ισοπαλίες τι γίνεται; Φαντάζομαι μπορεί να αεροπλάνο να πάει σε οποιοδήποτε από τα κοντινότερά του.
Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω το πολύ 6 αεροπλάνα.
(Στην λύση θεωρώ πως η γη είναι επίπεδη )
-
- Δημοσιεύσεις: 870
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
- Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
- Επικοινωνία:
Re: Αεροδρόμια!
Δημήτρη, κι εγώ 6 βρίσκω.Demetres έγραψε:Στις ισοπαλίες τι γίνεται; Φαντάζομαι μπορεί να αεροπλάνο να πάει σε οποιοδήποτε από τα κοντινότερά του.
Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω το πολύ 6 αεροπλάνα.
Ο τρόπος αιτιολόγησης όμως... δύσκολος μου φαίνεται!
Όσον αφορά τις "ισοπαλίες" , καλυπτόμαστε από το "πιθανό του μεγίστου" που ζητάει το πρόβλημα και μπορούμε να οδηγήσουμε το αεροπλάνο σ' όποιο αεροδρόμιο μας βολεύει για να προκύψει το μέγιστο.
Αν σου είναι εύκολο, δώσε έναν τρόπο αιτιολόγησης του 6.
Υπάρχει περίπτωση η γη να μην είναι... επίπεδη; :o
Κώστας Σερίφης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αεροδρόμια!
Ας υποθέσουμε ότι μια πόλη Α δέχεται αεροπλάνα από 7 πόλεις με αποστάσεις α_1<=α_2<=...<=α_7. Παίρνω κύκλο με κεντρο Α και ακτίνα ρ=α_7, τον οποιο χωρίζω σε 6 ίσους κυκλικούς τομείς. Ένας από αυτους περιέχει τουλάχιστον 2 άλλες πόλεις (περιστεροφωλιά). Θα δείξω ότι αυτές οι δύο πόλεις έχουν απόσταση τουλάχιστον ρ. Επεκτείνοντας την ευθεία που ενώνει τις δύο πόλεις, μπορώ να υποθέσω ότι οι πόλεις βρίσκονται στην περίμετρο του κυκλικού τομέα. Σε όλες τις πιθανές περιπτώσεις είναι αρκετά απλό να δειχθεί ότι όντως η απόσταση των δυο πόλεων είναι το πολύ ρ.k-ser έγραψε: Δημήτρη, κι εγώ 6 βρίσκω.
Ο τρόπος αιτιολόγησης όμως... δύσκολος μου φαίνεται!
Όσον αφορά τις "ισοπαλίες" , καλυπτόμαστε από το "πιθανό του μεγίστου" που ζητάει το πρόβλημα και μπορούμε να οδηγήσουμε το αεροπλάνο σ' όποιο αεροδρόμιο μας βολεύει για να προκύψει το μέγιστο.
Αν σου είναι εύκολο, δώσε έναν τρόπο αιτιολόγησης του 6.
Δεν ξέρω αν αυτή την λύση είχες υπόψη σου η όχι.
Εννοούσα ότι κανονικά το πρόβλημα πρέπει να λυθεί σε σφαιρική γεωμετρία.k-ser έγραψε: Υπάρχει περίπτωση η γη να μην είναι... επίπεδη; :o
-
- Δημοσιεύσεις: 870
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
- Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
- Επικοινωνία:
Re: Αεροδρόμια!
Δημήτρη,
ευχαριστώ για την απάντησή σου.
Δίνω την δική μου αναλυτική προσέγγιση στο πρόβλημα - δεν πήρα τον μεγαλύτερο κύκλο αλλά το μικρότερο.
Σχήμα Έστω Α το αεροδρόμιο στο οποίο θα προσγειωθεί ο μέγιστος αριθμός αεροπλάνων.
Β το κοντινότερο στο Α αεροδρόμιο.
Κάνουμε τον κύκλο (Α, ΑΒ) και τη μεσοκάθετο του ΑΒ η οποία τέμνει τον κύκλο, αριστερά της ΑΒ, στο Γ.
Το επόμενο αεροπλάνο, στο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ), που θα προσγειωθεί στο Α, (και όχι στο Β), θα πρέπει να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η μεσοκάθετος του ΑΒ και το Α. Επίσης θα βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου.
Στον παραπάνω χώρο η «ιδανικότερη», για το σκοπό μας, θέση που μπορούμε να τοποθετήσουμε το δεύτερο αεροδρόμιο, από όπου το αεροπλάνο που θα απογειωθεί, να προσγειωθεί στο Α είναι το σημείο Γ.
Το Γ είναι το σημείο που μεγιστοποιεί τον εναπομείναντα χώρο όπου μπορούμε να τοποθετήσουμε τα υπόλοιπα αεροδρόμια.
Βέβαια, το αεροπλάνο που θα φύγει από το Γ έχει δύο «επιλογές», όσον αφορά το αεροδρόμιο που θα προσγειωθεί: μπορεί να προσγειωθεί είτε στο Α είτε στο Β. Ας μη ξεχνάμε όμως ότι αναζητάμε το μέγιστο αριθμό αεροπλάνων που μπορεί να προσγειωθούν σε ένα αεροδρόμιο.
Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία, είναι φανερό ότι θα "τοποθετήσουμε" τα αεροδρόμια, απ’ όπου τα αεροπλάνα που θα φύγουν να μπορούν να προσγειωθούν στο Α, με τρόπο ώστε να πετύχουμε το μέγιστο, στις κορυφές κανονικού εξαγώνου με μία πλευρά την ΒΓ.
Άρα,
Ο μέγιστος αριθμός αεροπλάνων που μπορεί να προσγειωθούν στο Α είναι: 6
Παρατηρήσεις:
1. Με την υπόθεση ότι η γη είναι «τέλεια» σφαιρική, το αποτέλεσμα δεν θα αλλάξει!
2. Αν θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα με τις ακριβείς συνθήκες: Σχήμα γης, υψομετρικές διαφορές αεροδρομίων, απόκλιση και λάθη μετρήσεων των αποστάσεων από τις γεωγραφικές υπηρεσίες των κρατών… ενδεχομένως να έχουμε διαφορετική απάντηση!
ευχαριστώ για την απάντησή σου.
Δίνω την δική μου αναλυτική προσέγγιση στο πρόβλημα - δεν πήρα τον μεγαλύτερο κύκλο αλλά το μικρότερο.
Σχήμα Έστω Α το αεροδρόμιο στο οποίο θα προσγειωθεί ο μέγιστος αριθμός αεροπλάνων.
Β το κοντινότερο στο Α αεροδρόμιο.
Κάνουμε τον κύκλο (Α, ΑΒ) και τη μεσοκάθετο του ΑΒ η οποία τέμνει τον κύκλο, αριστερά της ΑΒ, στο Γ.
Το επόμενο αεροπλάνο, στο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ), που θα προσγειωθεί στο Α, (και όχι στο Β), θα πρέπει να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η μεσοκάθετος του ΑΒ και το Α. Επίσης θα βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου.
Στον παραπάνω χώρο η «ιδανικότερη», για το σκοπό μας, θέση που μπορούμε να τοποθετήσουμε το δεύτερο αεροδρόμιο, από όπου το αεροπλάνο που θα απογειωθεί, να προσγειωθεί στο Α είναι το σημείο Γ.
Το Γ είναι το σημείο που μεγιστοποιεί τον εναπομείναντα χώρο όπου μπορούμε να τοποθετήσουμε τα υπόλοιπα αεροδρόμια.
Βέβαια, το αεροπλάνο που θα φύγει από το Γ έχει δύο «επιλογές», όσον αφορά το αεροδρόμιο που θα προσγειωθεί: μπορεί να προσγειωθεί είτε στο Α είτε στο Β. Ας μη ξεχνάμε όμως ότι αναζητάμε το μέγιστο αριθμό αεροπλάνων που μπορεί να προσγειωθούν σε ένα αεροδρόμιο.
Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία, είναι φανερό ότι θα "τοποθετήσουμε" τα αεροδρόμια, απ’ όπου τα αεροπλάνα που θα φύγουν να μπορούν να προσγειωθούν στο Α, με τρόπο ώστε να πετύχουμε το μέγιστο, στις κορυφές κανονικού εξαγώνου με μία πλευρά την ΒΓ.
Άρα,
Ο μέγιστος αριθμός αεροπλάνων που μπορεί να προσγειωθούν στο Α είναι: 6
Παρατηρήσεις:
1. Με την υπόθεση ότι η γη είναι «τέλεια» σφαιρική, το αποτέλεσμα δεν θα αλλάξει!
2. Αν θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα με τις ακριβείς συνθήκες: Σχήμα γης, υψομετρικές διαφορές αεροδρομίων, απόκλιση και λάθη μετρήσεων των αποστάσεων από τις γεωγραφικές υπηρεσίες των κρατών… ενδεχομένως να έχουμε διαφορετική απάντηση!
Κώστας Σερίφης
Re: Αεροδρόμια!
Το πρόβλημα βρίσκεται στην παλιά γεωμετρία της Α Λυκείου (Αλιμπινίσης, Δημάκος, Εξαρχάκος κλπ) - άσκηση επανάληψης 18, σελίδα 165 - και φυσικά περνούσε απαρατήρητη.
Ηταν το Πρόβλημα του Τεύχους 4 του περιοδικού Μαθηματική Παιδεία του Χάρη Βαφειάδη (Μάης 1998). Στο (τελευταίο...) τεύχος 5 του περιοδικού βρίσκεται (σελίδες 135-138) μία ακόμη λύση των Marcela - Paul Popescu καθώς η λύση του ίδιου προβλήματος διατυπωμένου για το χώρο - από τον Χάρη.
Απαντά, δηλαδή στο ερώτημα: πόσα διαστημόπλοια θα μπορούσαν, το πολύ, να προσγειωθούν σε ένα (έστω ...σημειακό) ουράνιο σώμα αν κάθε διαστημόπλοιο προσγειώνεται στο κοντινότερο από αυτά;
Αν υπάρξει ενδιαφέρον, θα γράψω τη λύση, συνεπικουρούμενος από το φίλο Γιώργο (Ρίζο) στα σχήματα - του οποίου την προθυμία να συνδράμει δεν τη γνωρίζω, αφού δεν τον ρώτησα ακόμη...
Λεωνίδας
Ηταν το Πρόβλημα του Τεύχους 4 του περιοδικού Μαθηματική Παιδεία του Χάρη Βαφειάδη (Μάης 1998). Στο (τελευταίο...) τεύχος 5 του περιοδικού βρίσκεται (σελίδες 135-138) μία ακόμη λύση των Marcela - Paul Popescu καθώς η λύση του ίδιου προβλήματος διατυπωμένου για το χώρο - από τον Χάρη.
Απαντά, δηλαδή στο ερώτημα: πόσα διαστημόπλοια θα μπορούσαν, το πολύ, να προσγειωθούν σε ένα (έστω ...σημειακό) ουράνιο σώμα αν κάθε διαστημόπλοιο προσγειώνεται στο κοντινότερο από αυτά;
Αν υπάρξει ενδιαφέρον, θα γράψω τη λύση, συνεπικουρούμενος από το φίλο Γιώργο (Ρίζο) στα σχήματα - του οποίου την προθυμία να συνδράμει δεν τη γνωρίζω, αφού δεν τον ρώτησα ακόμη...
Λεωνίδας
Κάνε το θαύμα για να τ' αρνηθείς (Α. Μπρετόν - Π. Ελυάρ)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες