Οι ηλικίες

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9814
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Οι ηλικίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 05, 2016 12:26 pm

Μάρκος: Γεια σου Ελένη. Ενδιαφέρουσα η δευτεροβάθμια εξίσωση που έγραψες. Τι ρίζες έχει;

Ελένη: Οι ρίζες της είναι δύο θετικοί ακέραιοι. Η μία είναι η ηλικία μου και η άλλη, η ηλικία του μικρού μου αδελφού, του Γιαννάκη.

Μάρκος: Για να δω αν μπορώ να βρω πόσων χρονών είστε. Δεν μου φαίνεται και πολύ δύσκολο, αφού όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Και τώρα που την παρατηρώ καλύτερα, διαπιστώνω ότι το άθροισμα των συντελεστών είναι πρώτος αριθμός.

Ελένη: Ενδιαφέρον! Βρες τώρα την ηλικία μου.

Μάρκος: Αντί γι' αυτό θα προσπαθήσω να την μαντέψω, αντικαθιστώντας την στη θέση του x...Γκαντεμιά! Βγάζει -55, αντί για 0.

Ελένη: Κάνε μου τη χάρη! Πώς φαντάστηκες ότι μπορεί να ήταν αυτή η ηλικία μου!

Μπορείτε να βρείτε την ηλικία του Γιαννάκη και της Ελένης; (Αιτιολογήστε την απάντησή σας).



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Οι ηλικίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Δευ Δεκ 05, 2016 9:03 pm

george visvikis έγραψε:Μάρκος: Γεια σου Ελένη. Ενδιαφέρουσα η δευτεροβάθμια εξίσωση που έγραψες. Τι ρίζες έχει;

Ελένη: Οι ρίζες της είναι δύο θετικοί ακέραιοι. Η μία είναι η ηλικία μου και η άλλη, η ηλικία του μικρού μου αδελφού, του Γιαννάκη.

Μάρκος: Για να δω αν μπορώ να βρω πόσων χρονών είστε. Δεν μου φαίνεται και πολύ δύσκολο, αφού όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Και τώρα που την παρατηρώ καλύτερα, διαπιστώνω ότι το άθροισμα των συντελεστών είναι πρώτος αριθμός.

Ελένη: Ενδιαφέρον! Βρες τώρα την ηλικία μου.

Μάρκος: Αντί γι' αυτό θα προσπαθήσω να την μαντέψω, αντικαθιστώντας την στη θέση του x...Γκαντεμιά! Βγάζει -55, αντί για 0.

Ελένη: Κάνε μου τη χάρη! Πώς φαντάστηκες ότι μπορεί να ήταν αυτή η ηλικία μου!

Μπορείτε να βρείτε την ηλικία του Γιαννάκη και της Ελένης; (Αιτιολογήστε την απάντησή σας).
Ο Γιαννάκης 2 ετών και η Ελένη 18 ετών.
Θα επανέλθω για την αιτιολόγηση.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Οι ηλικίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Τρί Δεκ 06, 2016 12:04 am

george visvikis έγραψε:Μάρκος: Γεια σου Ελένη. Ενδιαφέρουσα η δευτεροβάθμια εξίσωση που έγραψες. Τι ρίζες έχει;

Ελένη: Οι ρίζες της είναι δύο θετικοί ακέραιοι. Η μία είναι η ηλικία μου και η άλλη, η ηλικία του μικρού μου αδελφού, του Γιαννάκη.

Μάρκος: Για να δω αν μπορώ να βρω πόσων χρονών είστε. Δεν μου φαίνεται και πολύ δύσκολο, αφού όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Και τώρα που την παρατηρώ καλύτερα, διαπιστώνω ότι το άθροισμα των συντελεστών είναι πρώτος αριθμός.

Ελένη: Ενδιαφέρον! Βρες τώρα την ηλικία μου.

Μάρκος: Αντί γι' αυτό θα προσπαθήσω να την μαντέψω, αντικαθιστώντας την στη θέση του x...Γκαντεμιά! Βγάζει -55, αντί για 0.

Ελένη: Κάνε μου τη χάρη! Πώς φαντάστηκες ότι μπορεί να ήταν αυτή η ηλικία μου!

Μπορείτε να βρείτε την ηλικία του Γιαννάκη και της Ελένης; (Αιτιολογήστε την απάντησή σας).
Αν m,n οι ηλικίες του Γιαννάκη και της Ελένης αντίστοιχα (με 0<m<n) , η εξίσωση x^2-(m+n)x+m n=0 έχει ρίζες τους φυσικούς m,n.
Κάθε άλλη δευτεροβάθμια με ακέραιους συντελεστές και ρίζες τους m,n θα είναι της μορφής k x^2-k (m+n)x+ k  m n=0 με k \in Z.

Το άθροισμα των συντελεστών είναι πρώτος, έτσι k-k (m+n)+k m  n=k (1-m-n+m n)=k(n-1)(m-1) πρώτος,
οπότε m=2 , k=1 και n-1 πρώτος.

Ονομάζουμε t τον αριθμό που δοκίμασε ο Μάρκος, και έχουμε: t^2-(m+n)t+m  n=-55\Leftrightarrow (t-n)(t-2)=-55.
Αφού 2<n είναι t-2>t-n , έτσι θα πρέπει:
( t-2=5 και t-n=-11 ) ή ( t-2=11 και t-n=-5 ) ή ( t-2=55 και t-n=-1 ) ή ( t-2=1 και t-n=-55 ) άρα
(( t=7 ή t=13) και n=18 ) ή ( (t=57 ή t=3) και n=58 ). Η τελευταία απορρίπτεται αφού πρέπει n-1 πρώτος .

Τελικά, ο Γιαννάκης είναι 2 ετών και η Ελένη είναι 18 ετών.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης