Να τους βρείτε!

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Απάντηση
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Να τους βρείτε!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Δεκ 28, 2016 1:32 pm

Δίνεται ο αριθμός:

34!=295232799039a041408476186096435b0000000.

Να βρείτε τους a,b :D


Λέξεις Κλειδιά:
παραγοντικό
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Να τους βρείτε!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 28, 2016 3:03 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ο αριθμός:

34!=295232799039a041408476186096435b0000000.

Να βρείτε τους a,b :D
Ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 9 και του 11, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα αντίστοιχα κριτήρια διαιρετότητας.

Αν έκανα σωστά τις προσθέσεις, βρίσκω a+b=8 και a=b+4, αντίστοιχα, οπότε a=6, b=2.

Άλλος, αλλά πιο επίπονος τρόπος για το b είναι να βρούμε το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του 34! είτε με το χέρι είτε εργαζόμενοι \mod 10^7 (δεν το έκανα).


Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Να τους βρείτε!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Δεκ 28, 2016 3:10 pm

Ας την προχωρήσουμε...

34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000


Βρείτε τους a,b,c,d


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: Να τους βρείτε!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Δεκ 28, 2016 4:23 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Ας την προχωρήσουμε...

34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000


Βρείτε τους a,b,c,d
Χωρίς βέβαια να δούμε την πρώτη ανάρτηση.

Το 34! τελειώνει σε \displaystyle{ \lfloor 34/5 \rfloor + \lfloor 34/25 \rfloor = 6+1=7} μηδενικά. Οπότε \boxed{b=0}.

Για το a θα υπολογίζουμε το τελευταίο ψηφίο του 34!/10^7. Ασφαλώς το ψηφίο θα είναι άρτιος οπότε αρκεί να το υπολογίσουμε \mod 5. Πρώτα βλέπουμε ότι \frac{34!}{5^7} \equiv (4!)^8 \equiv 1 \bmod 5. [Διότι έχουμε 7 τετράδες της μορφής (5k+1) \times (5k+4) \times \cdots \times (5k+5) όπου από κάθε μία από τις οποίες παίρνουμε ένα 4!. Παίρνουμε ακόμη ένα 4! από την τετράδα 5 \times 10 \times 15 \times 20 όταν διαιρέσουμε κάθε ένα από τους αριθμούς με το 5. Τέλος όταν διαιρέσουμε τα 25 και 30 με το 5^2 και 5 αντίστοιχα παίρνουμε και από τα δύο 1 \bmod 5.] Άρα είναι και \displaystyle{2^7 \times \frac{34!}{10^7} \equiv 1 \bmod 5. } Όμως 2^7 = 128 \equiv 3 \bmod 5. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με 2 καταλήγουμε στο 6 \times 34! \equiv 2 \bmod 5 άρα και 34! \equiv 2 \bmod 5. Οπότε καταλήγουμε στο \boxed{a=2}.

Τέλος για τα c,d χρησιμοποιούμε τα γνωστά κριτήρια διαιρετότητας με το 9 και το 11. Παίρνουμε ότι

\displaystyle{ c+d \equiv 3 \bmod 9} και \displaystyle{ c-d \equiv 8 \bmod 11}

Η πρώτη εξίσωση δίνει c+d=3 ή c+d=12 (αφού 0 \leqslant c+d \leqslant 18) και η δεύτερη δίνει c-d = 8 ή c-d = -3. Επειδή τα c+d και c-d έχουν την ίδια αρτιότητα

- Είτε c+d = 3 και c-d = -3 τα οποίο δίνει \boxed{c=0} και \boxed{d=3}

- Είτε c+d = 12 και c-d = 8 το οποίο όμως δίνει c=10 που είναι αδύνατο.


Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Να τους βρείτε!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Δεκ 28, 2016 4:24 pm

Demetres έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Ας την προχωρήσουμε...

34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000


Βρείτε τους a,b,c,d
Χωρίς βέβαια να δούμε την πρώτη ανάρτηση.
Σωστά... :D


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες