Ελενική πρόοδος

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11923
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελενική πρόοδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 02, 2017 8:37 pm

Βρείτε τον θετικό πραγματικό k , ώστε οι τρεις ρίζες της εξίσωσης :

\ell n(x^2+1)=kx , να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3281
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελενική πρόοδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιουν 02, 2017 11:43 pm

KARKAR έγραψε:Βρείτε τον θετικό πραγματικό k , ώστε οι τρεις ρίζες της εξίσωσης :

\ell n(x^2+1)=kx , να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .
Ωραίο!


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ελενική πρόοδος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιουν 03, 2017 12:17 am

Προφανής ρίζα η \displaystyle{x=0}
Για \displaystyle{x\ne 0} η εξίσωση γράφεται \displaystyle{\frac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x}=k}
Θέλουμε οι αριθμοί \displaystyle{0,a,b} να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π , δηλαδή \displaystyle{2a=b}
Έστω \displaystyle{2x,x} οι δύο ρίζες .Τότε:
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x} = \frac{{\ln \left( {4{x^2} + 1} \right)}}{{2x}} \Leftrightarrow \ln {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = ln\left( {4{x^2} + 1} \right) \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 4{x^2} + 1 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} = 0 \\  
 \end{array}}
με δεκτή ρίζα τη \displaystyle{x=\sqrt{2}}. Τότε \displaystyle{k=\frac{\ln 3}{\sqrt{2}}}


Kαλαθάκης Γιώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3281
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελενική πρόοδος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιουν 03, 2017 1:26 am

exdx έγραψε:Προφανής ρίζα η \displaystyle{x=0}
Για \displaystyle{x\ne 0} η εξίσωση γράφεται \displaystyle{\frac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x}=k}
Θέλουμε οι αριθμοί \displaystyle{0,a,b} να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π , δηλαδή \displaystyle{2a=b}
Έστω \displaystyle{2x,x} οι δύο ρίζες .Τότε:
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x} = \frac{{\ln \left( {4{x^2} + 1} \right)}}{{2x}} \Leftrightarrow \ln {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = ln\left( {4{x^2} + 1} \right) \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 4{x^2} + 1 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} = 0 \\  
 \end{array}}
με δεκτή ρίζα τη \displaystyle{x=\sqrt{2}}. Τότε \displaystyle{k=\frac{\ln 3}{\sqrt{2}}}
Ωραία αλλά γιατί δεν έχει και τέταρτη ρίζα;

Και τα διασκεδαστικά μαθηματικά είναι μαθηματικά.

Θα το πήγαινα και παρακάτω.

Οτι ............... διασκεδαστικά μαθηματικά \equiv μαθηματικά


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ελενική πρόοδος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιουν 03, 2017 8:03 am

Καλημέρα Σταύρο , καλημέρα σε όλους

….. Ή γιατί να έχει τρεις ρίζες ….( εξαρτάται από το \displaystyle{k} …) . Απάντησα με βάση τα δεδομένα ..
Εν πάση περιπτώσει ...

Η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \ln ({x^2} + 1)} για \displaystyle{x \ge 0} έχει ως δεύτερη παράγωγο την \displaystyle{f''(x) = \frac{{2(1 - {x^2})}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}} ,
είναι κυρτή στο \displaystyle{[0,1]} , κοίλη στο \displaystyle{[1, + \infty )}και επομένως παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το \displaystyle{A(1,f(1))} .
Στο \displaystyle{[0,1]} δεν μπορεί να έχει τρία συνευθειακά σημεία . Ομοίως στο \displaystyle{[1, + \infty )} .
Άρα δεν μπορεί να έχει τέσσερα συνευθειακά σημεία στο \displaystyle{[0, + \infty )}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης