Περίεργη τριχοτόμηση τετραγώνου

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περίεργη τριχοτόμηση τετραγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιούλ 05, 2017 2:29 pm

Περίεργη  τριχοτόμηση  τετραγώνου.png
Περίεργη τριχοτόμηση τετραγώνου.png (6.94 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές
Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD , επιδιώκουμε να βρούμε σημείο S , ώστε

τα τμήματα SA , SQ , (\perp DC) και SP , ( P σημείο της BC ) , να είναι ίσα και

επιπλέον : (ABPS)=(SPCQ)=(ASQD) . Είναι η κατασκευή αυτή δυνατή ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίεργη τριχοτόμηση τετραγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 05, 2017 6:11 pm

KARKAR έγραψε:Περίεργη τριχοτόμηση τετραγώνου.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου ABCD , επιδιώκουμε να βρούμε σημείο S , ώστε

τα τμήματα SA , SQ , (\perp DC) και SP , ( P σημείο της BC ) , να είναι ίσα και

επιπλέον : (ABPS)=(SPCQ)=(ASQD) . Είναι η κατασκευή αυτή δυνατή ;
Περίεργη τριχοτόμηση.png
Περίεργη τριχοτόμηση.png (9.66 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο σημείο S. Τότε: \displaystyle{{y^2} = {x^2} - {(a - x)^2} \Leftrightarrow }\boxed{y=\sqrt{2ax-a^2}} (1)

\displaystyle{(ASQD) = \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow \frac{{(x + a)y}}{2} = \frac{{{a^2}}}{3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} } \boxed{18x^3+27ax^2-13a^3=0}, απ' όπου μέσω λογισμικού παίρνουμε

τη δεκτή ρίζα \boxed{x = \frac{a}{6}\left( {\sqrt[3]{{51 - 12\sqrt {13} }} + \sqrt[3]{{51 + 12\sqrt {13} }} - 3} \right) \simeq 0,58811a}

Χρησιμοποιώντας τώρα την προσεγγιστική τιμή του x βρίσκουμε ότι \displaystyle{(ABPS) \simeq 0,353{a^2} > \frac{{{a^2}}}{3}}, άρα δεν υπάρχει τέτοιο σημείο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες