Η απάτη του μήνα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η απάτη του μήνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 11, 2017 2:07 pm

Η  απάτη  του μήνα.png
Η απάτη του μήνα.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές
Το κόκκινο ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB= 6 και η μπλε καμπύλη είναι

ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου κύκλου (K) , ο οποίος εφάπτεται ημικυκλίου

και διαμέτρου . Οι ( πάνω ) εφαπτόμενες του κύκλου από τα A,B τέμνονται στο S .

α) Δείξτε ότι ο πρώτος ( μπλε) γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή : y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x^2}{6}

β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του S ( πράσινος ) δεν είναι το βόρειο τμήμα

της έλλειψης : \dfrac{y^2}{16}+\dfrac{x^2}{9} =1



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η απάτη του μήνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 11, 2017 6:41 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 11, 2017 2:07 pm
Η απάτη του μήνα.pngΤο κόκκινο ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB= 6 και η μπλε καμπύλη είναι

ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου κύκλου (K) , ο οποίος εφάπτεται ημικυκλίου

και διαμέτρου . Οι ( πάνω ) εφαπτόμενες του κύκλου από τα A,B τέμνονται στο S .

α) Δείξτε ότι ο πρώτος ( μπλε) γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή : y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x^2}{6}
Για το α)
Η απάτη του μήνα.png
Η απάτη του μήνα.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
Αν K(x,y), τότε: \displaystyle {x^2} + {y^2} = {(3 - y)^2} \Leftrightarrow \boxed{y =  - \frac{{{x^2}}}{6} + \frac{3}{2}}

Για το β) ερώτημα, ταιριάζει απόλυτα ο τίτλος. Τουλάχιστον είναι εντελώς πειστικό!


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Η απάτη του μήνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 12, 2017 6:26 pm

Η  απάτη  του μήνα.png
Η απάτη του μήνα.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Για το β) αρκεί να δείξω ότι κάποιο από τα S , δεν ανήκει στην ημιέλλειψη .

Για τη θέση του κύκλου του σχήματος είναι K(2,\dfrac{5}{6}) , οπότε : \tan\theta=\dfrac{1}{6}

συνεπώς : \tan2\theta=\dfrac{12}{35} , δηλαδή η ευθεία AS έχει εξίσωση :

y=\dfrac{12}{35}(x+3) . Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της BS , που είναι :

y=-\dfrac{60}{11}(x-3) . Η τομή των δύο δίνει το σημείο S , και παρατηρούμε ότι :

\dfrac{(\dfrac{60}{31})^2}{16}+\dfrac{(\dfrac{82}{31})^2}{9}=\dfrac{8749}{8649}\neq 1 , δηλαδή το S , :no:

Τα σημεία A,B , καθώς και το (0,4) εύκολα διαπιστώνουμε ότι ανήκουν στην ημιέλλειψη .

Η πολύ μικρή απόκλιση είναι αυτή που δημιουργεί την οπτική απάτη , αλλά έχουμε κι άλλα όπλα !


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Η απάτη του μήνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 12, 2017 8:32 pm

Η  απάτη  του μήνα.png
Η απάτη του μήνα.png (153.71 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
Ο μπλε είναι ο πραγματικός γεωμετρικός τόπος και η πράσινη καμπύλη

είναι η ημιέλλειψη . Αν το πετυχαίνατε κι εσείς , δεν θα το κάνατε θέμα ;

Για το ποια είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου , δεν θα καίγεστε :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης