Διαγωνισμός ομορφιάς

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διαγωνισμός ομορφιάς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm

Διαγωνισμός  ομορφιάς.png
Διαγωνισμός ομορφιάς.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές
Πάνω στη διάμεσο AM τριγώνου \displaystyle ABC , (AB<AC) , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο S ,

έτσι ώστε : \widehat{BAM}=\widehat{MSC} . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5744
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 14, 2017 9:02 pm

(Δεν με ενδιαφέρει η ομορφιά !)

Διαγωνισμός ομορφιάς.png
Διαγωνισμός ομορφιάς.png (36.88 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές
Έστω E το σημείο τομής της AM με τον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC.

Η μεσόκάθετος στο MC τέμνει στο K την κάθετο επί την EC στο σημείο του C.

Ο κύκλος (K,KC) τέμνει , εν γένει , την AM στο S .

Θα επανέλθω μετά από άλλες λύσεις αν έχω κάτι καλύτερο βρει
.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4016
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Δεκ 14, 2017 9:16 pm

Δίχως να θέλω καθόλου να επηρεάσω την αμερόληπτη κρητική επιτροπή:
14-12-2017 Γεωμετρία.jpg
14-12-2017 Γεωμετρία.jpg (36.29 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Από τον πανέμορφο Ν Ημιτόνων στα ABΜ, SCM έχουμε  \displaystyle \frac{{a/2}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{c}{{\eta \mu {{\rm M}_1}}} και  \displaystyle \frac{{a/2}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{BC}}{{\eta \mu {{\rm M}_2}}} .

Αφού  \displaystyle \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 180^\circ , είναι  \displaystyle \eta \mu {{\rm M}_1} = \eta \mu {{\rm M}_2} οπότε SC = c.

Με κέντρο B και ακτίνα BM κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την AM στο εσωτερικό του σημείο K, αφού η γωνία  \displaystyle \widehat {{{\rm M}_1}} είναι οξεία. Το τρίγωνο BKM είναι ισοσκελές με  \displaystyle \widehat {{{\rm K}_1}} = \widehat {{{\rm M}_1}} άρα και  \displaystyle \widehat {{{\rm K}_2}} = \widehat {{{\rm M}_2}} , οπότε τα τρίγωνα ABK, SMC είναι ίσα, άρα AK =MS.

Οπότε προσδιορίσαμε τη θέση του S.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Δεκ 14, 2017 11:13 pm

point S.png
point S.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5744
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 14, 2017 11:17 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Πέμ Δεκ 14, 2017 11:13 pm
point S.png
Παντού και πάντοτε τα νιάτα είναι ασυναγώνιστα !


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5744
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 14, 2017 11:30 pm

Διαγωνισμός ομορφιάς_new.png
Διαγωνισμός ομορφιάς_new.png (32.19 KiB) Προβλήθηκε 956 φορές
Η κάθετη στο M επί την BC τέμνει τον κύκλο (A,B,M) στο T. Το ημικύκλιο διαμέτρου TC τέμνει την AM ακόμα στο S


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 15, 2017 7:36 pm

Beauty star.png
Beauty star.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 15, 2017 8:14 pm

Διαγωνισμός  ομορφιάς.png
Διαγωνισμός ομορφιάς.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές
Παίρνω : CS=AB , τέλος ...

Ολιγόλογη και μυστηριώδης , κερδίζει το στέμμα , το οποίο δεν επιστρέφεται .

Επιτάχυνα κάπως την παρουσίαση της λύσης μου , επειδή ήθελα πολύ

αυτή τη νίκη και στην πίστα άρχιζαν να εμφανίζονται κι άλλες επικίνδυνα

όμορφες ! Δεν νομίζω ότι θα αμφισβητηθεί η απόφαση της κριτικής επιτροπής
:?:


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1347
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Δεκ 15, 2017 8:17 pm

Επιδιώκω το βραβείο απλότητας.
Αν η επιτροπή είναι "κρητική" π.χ. Βαρβεράκης και Παντερής (που είναι και συνονόματοι), τότε το βραβείο το έχω στο τσεπάκι. :lol:

Ονομάζω β το μέτρο της γωνίας ABC.
Αν δοθούν δύο γωνίες με μέτρο φ και β, τότε είναι εύκολη η κατασκευή της γωνίας π-2φ-β, (επίπεδο Α Γυμνασίου).
Άρα, κατασκευάζω γωνία  MCS με μέτρο π-2φ-β.
Τότε όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα η γωνία MSC έχει μέτρο φ.
Συνημμένα
απλή κατασκευή γωνίας.png
απλή κατασκευή γωνίας.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Σάβ Δεκ 16, 2017 9:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4016
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 15, 2017 8:58 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Πέμ Δεκ 14, 2017 9:16 pm

Με κέντρο B και ακτίνα BM κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την AM στο εσωτερικό του σημείο K, αφού η γωνία  \displaystyle \widehat {{{\rm M}_1}} είναι οξεία.

Απολογούμαι, συμπληρώνω: "Που τέμνει την AM σε εσωτερικό σημείο K αν AB <\frac{BC}{2}".
Πράγματι, αν AB > \frac{BC}{2} το πρόβλημα δεν έχει λύση.

15-12-2017 Γεωμετρία.png
15-12-2017 Γεωμετρία.png (52.79 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 15, 2017 9:39 pm

Διαγωνισμός  ομορφιάς.png
Διαγωνισμός ομορφιάς.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές
Επειδή ( ως επιτροπή ) έγινα δέκτης πολλών παραπόνων για μεροληψία προς μία

ανεπαρκή λύση , αναρτώ ένα ακόμη σχήμα , ελπίζοντας να ατονήσουν οι διαμαρτυρίες :?


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Δεκ 15, 2017 10:43 pm

Θανάση συνέχισε να είσαι δίκαιος, αντικειμενικός, αμερόληπτος, αδέκαστος, απροκατάληπτος.

Ετσι μαθαίνουμε από μικροί ότι στη Ελλάδα ΠΑΝΤΑ υπάρχει ένα παρασκήνιο !!!

Υ.Γ. Θέλω να αγιάσω αλλά δεν με αφήνουν !!


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1347
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Δεκ 15, 2017 11:35 pm

Για να μη χάσω το "βραβείο". :roll:
Πρέπει να ισχύει 2φ + β < 180.
Υποθέτω αυτή παρατήρηση είναι ισοδύναμη με αυτή του Γιώργου Ρίζου για τη διερεύνηση της λύσης.
Πάντως, για άλλη μια φορά αποδεικνύεται ότι μια απλή άσκηση μπορεί να έχει ενδιαφέρον από την άποψη της μάθησης και της διδασκαλίας.
Τώρα, που το ξαναείδα, θα μπορούσε να γραφεί στην εκφώνηση, ότι το σημείο S ανήνει στον φορέα της διαμέσου,
οπότε μπορεί να βρίσκεται και εκτός του τριγώνου,
Έτσι, λύνεται το μειονέκτημα που επεσήμανε ο Γιώργος Ρίζος.
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Σάβ Δεκ 16, 2017 9:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1359
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Δεκ 16, 2017 1:01 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm
Διαγωνισμός ομορφιάς.pngΠάνω στη διάμεσο AM τριγώνου \displaystyle ABC , (AB<AC) , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο S ,

έτσι ώστε : \widehat{BAM}=\widehat{MSC} . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .

Στις πανέμορφες λύσεις που προηγήθηκαν προσθέτω μια ακόμη

Με \displaystyle C' συμμετρικό του \displaystyle C ως προς \displaystyle AM είναι \displaystyle SC' = SC,\displaystyle AB//SC'

κι επειδή \displaystyle BM = MC = MC' θα είναι \displaystyle BC' \bot CC' \Rightarrow ASC'B παραλ/μμο.

Άρα \displaystyle AB = SC' = SC.Η τομή του \displaystyle \left( {C,AB} \right) με την \displaystyle AM δίνει τη θέση του \displaystyle S
D.O.png
D.O.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 16, 2017 1:01 pm

Beauty star.II.png
Beauty star.II.png (17.18 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές
MP||AB, CP||AM


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 16, 2017 1:27 pm

Κύριοι , όπως προείπαμε το στέμμα δεν επιστρέφεται , όσο και να προσπαθήσετε :lol:

Είναι αλήθεια πάντως , ότι η επιτροπή εντυπωσιάστηκε από κάποιες υποψήφιες , κυρίως

δε από εκείνη του Ορέστη αλλά - είπαμε - το που θα δοθεί ο τίτλος , ήταν προαποφασισμένο :mrgreen:


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3100
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Δεκ 16, 2017 1:49 pm

shape.png
shape.png (38.3 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές
A' συμμετρικό του A ως προς Mx


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 675
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Δεκ 16, 2017 3:00 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm
Διαγωνισμός ομορφιάς.pngΠάνω στη διάμεσο AM τριγώνου \displaystyle ABC , (AB<AC) , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο S ,

έτσι ώστε : \widehat{BAM}=\widehat{MSC} . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .
Χωρίς επιπλέον γραμμές...

Έστω S σημείο στην AM ώστε \widehat{BAM}=\widehat{MSC}

Επειδή η AM είναι διάμεσος έχουμε:

(ABM)=(AMC) και (SBM)=(SMC), επομένως (ABS)=(ASC)

Είναι γνωστό (και προκύπτει εύκολα) ότι σε δύο τρίγωνα που έχουν μια γωνία ίση ή παραπληρωματική τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των προσκείμενων στη γωνία πλευρών. Επομένως από τα τρίγωνα ABS και ASC έχουμε:

\dfrac{AB \cdot AS}{SC \cdot AS}=\dfrac{(ABS)}{(ASC)} \Leftrightarrow \dfrac{AB}{SC} =1 \Leftrightarrow \boxed{AB=SC}


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 16, 2017 3:18 pm

Τι γίνεται ρε παιδιά , Βενεζουέλα καταντήσαμε !
Είναι γνωστό ότι η Βενεζουέλα "παράγει" το μεγαλύτερο ποσοστό καλλονών παγκοσμίως ...


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3100
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Δεκ 16, 2017 4:26 pm

shape2.png
shape2.png (23.55 KiB) Προβλήθηκε 724 φορές
NK μεσοκάθετος της AM, CS\parallel KM και αποδεσμευόμαστε απ’ το να είναι η AM διάμεσος…


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης