Ψευδομέγιστο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ψευδομέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 20, 2017 12:58 pm

Η  απάτη  της  εβδομάδας.png
Η απάτη της εβδομάδας.png (7.1 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
Τα ημικύκλια του σχήματος έχουν την ίδια ακτίνα r και σε σημείο S του (K)

φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει το (O) στα σημεία P,Q .

α) Υπολογίστε το γινόμενο SP\cdot PQ= pseudomax , στη φάση που PQ=\dfrac{5r}{3} .

β) Βρείτε το μέγιστο του SP\cdot PQ και πάντως δείξτε ότι δεν είναι το pseudomax .

Αν νομίζετε ότι έχω λύση για το β) πλανάσθε , ελπίζω πάντως να λυθεί , αν και φοβάμαι πως δεν...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ψευδομέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 20, 2017 5:22 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 20, 2017 12:58 pm
Η απάτη της εβδομάδας.pngΤα ημικύκλια του σχήματος έχουν την ίδια ακτίνα r και σε σημείο S του (K)

φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει το (O) στα σημεία P,Q .

α) Υπολογίστε το γινόμενο SP\cdot PQ= pseudomax , στη φάση που PQ=\dfrac{5r}{3} .

β) Βρείτε το μέγιστο του SP\cdot PQ και πάντως δείξτε ότι δεν είναι το pseudomax .

Αν νομίζετε ότι έχω λύση για το β) πλανάσθε , ελπίζω πάντως να λυθεί , αν και φοβάμαι πως δεν...
Ψευδομέγιστο.png
Ψευδομέγιστο.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
α) το ψευδομέγιστο είναι \displaystyle PS \cdot PQ = \frac{{5{r^2}}}{{18}}\left( {\sqrt {97 + 12\sqrt {11} }  - 5} \right) \simeq 1.8600365{r^2}

β) το μέγιστο (με λογισμικό) είναι \displaystyle {(PS \cdot PQ)_{\max }} \simeq 1.8600429{r^2} για x\simeq 0.83218r

Παρακάτω έρχεται και η λύση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ψευδομέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 22, 2017 10:42 am

Ψευδομέγιστο.png
Ψευδομέγιστο.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Έστω M το μέσο του PQ και MP=x. Είναι, \displaystyle OM = \sqrt {{r^2} - {x^2}} και \displaystyle O{N^2} = 4{r^2} - {\left( {r - \sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right)^2}

\displaystyle ON = x + SP \Leftrightarrow SP = \sqrt {2{r^2} + {x^2} + 2r\sqrt {{r^2} - {x^2}} }  - x \Rightarrow

\boxed{SP \cdot PQ = 2x\left( {\sqrt {2{r^2} + {x^2} + 2r\sqrt {{r^2} - {x^2}} }  - x} \right)}

α) Αν x=\dfrac{5r}{6}, τότε \displaystyle SP \cdot PQ = \frac{{5{r^2}}}{{18}}\left( {\sqrt {97 + 12\sqrt {11} }  - 5} \right) \simeq 1.8600365{r^2}

β) Με χρήση λογισμικού βρίσκω \displaystyle {(SP \cdot PQ)_{\max }} \simeq 1.8600429{r^2} για x\simeq 0.83218r


Με τόσο μικρή διαφορά ανάμεσα στις δύο τιμές, σίγουρα πρόκειται για την απάτη της εβδομάδας!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης