Άφατη ρητότητα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9680
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άφατη ρητότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 23, 2017 8:21 am

Άφατη  ρητότητα.png
Άφατη ρητότητα.png (23.73 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Η κορυφή B του τριγώνου \displaystyle ABC είναι η αρχή των αξόνων ενώ η C κινείται

στον θετικό οριζόντιο ημιάξονα , αλλά έχοντας πάντα ακέραια τετμημένη c .

α) Πόσες τιμές μπορεί να πάρει το c ;

β) Βρείτε την τετμημένη του A , όταν c=7 .

γ) Εξηγήστε γιατί η τετμημένη του A είναι πάντα ρητός :!:

δ) Καθώς η τετμημένη του C από c γίνεται c+1 , ποια είναι

η μέγιστη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων τετμημένων του A ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10162
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άφατη ρητότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 23, 2017 10:24 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 23, 2017 8:21 am
Η κορυφή B του τριγώνου \displaystyle ABC είναι η αρχή των αξόνων ενώ η C κινείται

στον θετικό οριζόντιο ημιάξονα , αλλά έχοντας πάντα ακέραια τετμημένη c .

α) Πόσες τιμές μπορεί να πάρει το c ;

β) Βρείτε την τετμημένη του A , όταν c=7 .

γ) Εξηγήστε γιατί η τετμημένη του A είναι πάντα ρητός :!:
Το A μπορεί να πάει μέχρι το (-5,0) αριστερά και το (5,0) δεξιά, καθώς κινείται σε κύκλο ακτίνας 5. Είναι σαφές ότι το c κινείται από το 9-5=4 έως 9+5=14 χωρίς τα άκρα. Δηλαδή παίρνει τις εννέα ακέραιες τιμές 5,\,6,\,...\,, 13.

Για οποιοδήποτε τέτοιο c, όπως το c=7 της εκφώνησης, η τετμημένη του A είναι από τον νόμο των συνημιτόνων

BA \cos B= 5\cos B = 5 \cdot \frac {5^2+c^2-9^2}{2\cdot 5c} που βέβαια είναι ρητός για ακέραιο c (και είναι =-1/2 αν c=7).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άφατη ρητότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 23, 2017 10:33 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 23, 2017 8:21 am
Άφατη ρητότητα.pngΗ κορυφή B του τριγώνου \displaystyle ABC είναι η αρχή των αξόνων ενώ η C κινείται

στον θετικό οριζόντιο ημιάξονα , αλλά έχοντας πάντα ακέραια τετμημένη c .

α) Πόσες τιμές μπορεί να πάρει το c ;

β) Βρείτε την τετμημένη του A , όταν c=7 .

γ) Εξηγήστε γιατί η τετμημένη του A είναι πάντα ρητός :!:

α) Λόγω τριγωνικής ανισότητας είναι 4<c<14, επομένως το c μπορεί να πάρει να πάρει εννέα ακέραιες τιμές, 5,6,7,8,...,13

β) Έστω B(x,y). Παίρνω το εμβαδόν με τον τύπο του Ήρωνα και με τον κλασσικό τύπο. \displaystyle E = \frac{{21}}{4}\sqrt {11}  = \frac{{7y}}{2} \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}\sqrt {11}

και με Πυθαγόρειο, \displaystyle 81 = {y^2} + {(7 - x)^2} \Leftrightarrow {(7 - x)^2} = {\left( {\frac{{15}}{2}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{x=-\frac{1}{2}}

γ) \displaystyle E = \frac{{\sqrt {(196 - {c^2})({c^2} - 16)} }}{4} = \frac{{yc}}{2} \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt {(196 - {c^2})({c^2} - 16)} }}{{2c}}

\displaystyle 81 = {y^2} + {(c - x)^2} \Leftrightarrow {(c - x)^2} = {\left( {\frac{{{c^2} + 56}}{{2c}}} \right)^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{c > x} \boxed{x = \frac{c}{2} - \frac{{28}}{c}} που είναι ρητός.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5748
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άφατη ρητότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 23, 2017 10:36 am

Αφατη ρητότητα.png
Αφατη ρητότητα.png (31.62 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

Πρέπει 9 - 5\,\, < c < 9 + 5 \Rightarrow 5 \leqslant c \leqslant 13 δηλαδή μπορεί να πάρει 9 ακέραιες τιμές

Η κορυφή A ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων με εξισώσεις:

\left\{ \begin{gathered} 
  {(x - c)^2} + {y^2} = 81 \hfill \\ 
  {x^2} + {y^2} = 25 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = \frac{c}{2} - \frac{{28}}{c}}


Προφανώς ρητός λόγω των παραπάνω τιμών του c.

Για \boxed{c = 7 \Rightarrow {x_A} = \frac{7}{2} - \frac{{28}}{7} =  - \frac{1}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης