Κανένας ακέραιος ;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κανένας ακέραιος ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 27, 2017 10:58 am

Κανένας  ακέραιος ;.png
Κανένας ακέραιος ;.png (5.86 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισόπλευρο με πλευρά a=9 . Στις πλευρές AB,AC θεωρούμε

σημεία S,P , έτσι ώστε το SP να μην είναι παράλληλο προς την BC και τα μήκη των

BS=s , CP=p , να είναι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του 9.

Θέλουμε και το μήκος του τμήματος SP να είναι ακέραιος .

α) Βρείτε κάποιες λύσεις του προβλήματος ( μονάδες 3 )

β) Πόσα είναι τα ζεύγη των (s,p) που πρέπει να εξετάσουμε ; ( μονάδες 4 )

γ) Μειώστε τον αριθμό των ζευγών που πρέπει να εξετάσουμε ( μονάδες 6 ) .

δ) Ελαχιστοποιήστε τον αριθμό των ζευγών που πρέπει να εξετάσουμε ( μονάδες 7 ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κανένας ακέραιος ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 08, 2018 8:11 pm

Απαντώ στο "χαζό" β) , αφήνοντας τα "έξυπνα" για τους λύτες :

Η εξέταση θα γίνει φυσικά με το νόμο των συνημιτόνων .

Προφανώς : 1\leq s,p\leq8 και επειδή πρέπει s\neq p - λόγω

μη παραλληλίας - τα ζευγάρια που θα εξετάσουμε είναι τα :

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) ,(1,7),(1,8)

(2,1),(2,3),(2,4),(1,5),(2,6) ,(2,7),(2,8)

(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6) ,(3,7),(3,8)

....................................................................

(8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6) ,(8,7) .

ήτοι συνολικά 8\times 7=56 ζεύγη . Πολλά δεν είναι ;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3981
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κανένας ακέραιος ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Φεβ 09, 2018 9:01 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Κάνω μια προσπάθεια:

Κανένας  ακέραιος ;.png
Κανένας ακέραιος ;.png (5.86 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

α) Κάποιες λύσεις είναι AS =8, AP=5, SP=7 και AS=8, AP=3, SP=7.

β) Δείτε στην παραπάνω ανάρτηση.

γ) Λόγω συμμετρίας ελέγχουμε τις περιπτώσεις  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
1 \le s \le 4 \Rightarrow 5 \le AS \le 8,\;\;\\ 
2 \le p \le 8 \Rightarrow 1 \le AP \le 7 
\end{array} \right. .
Έστω, λοιπόν, s < p. Αφού  \displaystyle \widehat A = 60^\circ είναι  \displaystyle \widehat {ASP} < 60^\circ ,\;\;\widehat {APS} > 60^\circ άρα AS>SP>AP.

Έχουμε προς στιγμήν 22 περιπτώσεις.

δ (ίσως)) Στο ASP, από Ν. Συνημιτόνων είναι

 \displaystyle S{P^2} = A{S^2} + A{P^2} - 2AS \cdot AP\sigma \upsilon \nu 60^\circ  = A{S^2} + A{P^2} - AS \cdot AP .

 \displaystyle  \Leftrightarrow A{S^2} + A{P^2} - S{P^2} = AS \cdot AP .

Αν AP, AS περιττoί, τότε και SP περιττός, αφού το δεύτερο μέλος είναι περιττός, άρα και το πρώτο.

Δυνατές περιπτώσεις (AS, AP): (5,1), (7,1), (7,3)

Αν AP, AS άρτιοι, τότε και SP άρτιος, αφού το δεύτερο μέλος είναι άρτιος, άρα και το πρώτο.

Δυνατές περιπτώσεις (AS, AP): (6,2), (8,2), (8,4)

Αν AP άρτιος, AS περιττός ή αντίστροφα, τότε και SP περιττός, αφού το δεύτερο μέλος είναι άρτιος, άρα και το πρώτο.

Δυνατές περιπτώσεις (AS, AP): (5,2), (6,1), (6,3), (7,2), (7, 4), (8, 1), (8, 3), (8,5).

Τώρα έχουμε 14 περιπτώσεις. Για τις λύσεις που θα βρούμε, προσθέτουμε και τις συμμετρικές.

Προσθέτω κι ένα αρχείο Geogebra. Μετακινήστε το s και το p στις δυνατές θέσεις. Θα βρείτε τις παραπάνω λύσεις (και τις συμμετρικές τους).
Συνημμένα
Κανένας ακέραιος ;.ggb
(19.23 KiB) Μεταφορτώθηκε 7 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κανένας ακέραιος ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 09, 2018 9:50 pm

Γεια σου Γιώργο !

Η απάντησή σου με χαροποιεί , αλλά η ανταπάντησή μου δεν θα σε χαροποιήσει :

Βρισκόμαστε στο φάκελο : "Διασκεδαστικά Μαθηματικά " , οπότε το ελάχιστο των

εξεταστέων ζευγών είναι μηδέν :!: .

Διότι σύμφωνα με τη λίστα που υπάρχει εδώ , οι μοναδικές τριάδες μονοψήφιων ακεραίων

που είναι πλευρές τριγώνου με γωνία 60^0 , είναι αυτές που ανέφερες στην αρχή :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3981
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κανένας ακέραιος ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Φεβ 09, 2018 10:01 pm

Θανάση καλησπέρα. Νά 'σαι καλά για το όμορφο θέμα που μάς θύμισες.
KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 9:50 pm

Βρισκόμαστε στο φάκελο : "Διασκεδαστικά Μαθηματικά "
όπου, δόξα τω Θεώ, δεν έχουμε διδακτέα και εξεταστέα ύλη!

Εννοείται ότι είχα παντελώς ξεχάσει τη συζήτηση, παρόλο που συμμετείχα με τις περιπτώσεις τριγώνων με ακέραιες πλευρές, στα οποία ένας εξισωτής ορίζει ακέραια τμήματα στις πλευρές του.

Το αρχειάκι geogebra κανείς δεν θα το τιμήσει μεταφορτώνοντάς το; :roll:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης