Η μοιραία σύγκριση

KARKAR · #1

Α ) Από τους αριθμούς : $\displaystyle \sqrt[3]{2} ,\sqrt[7]{5} , \sqrt[10]{10}$ , ποιος σας φαίνεται μεγαλύτερος ;

Β) Πείστε τον αναγνώστη , ότι δεν τους συκρίνατε με τη βοήθεια λογισμικού !

#2

Καλημέρα σε όλους.
Α. Είναι ο πρώτος. Ευδιάκριτο δεν είναι με το μάτι.
Πράγματι, με κομπιουτεράκι με επτά οκτώ ψηφία θα φανεί η διαφορά, αλλά με δύο ψηφία θα πάρουμε $\displaystyle \sqrt[3]{2} \cong {\rm{1}}{\rm{,26}}{\rm{,}}\;\;\sqrt[7]{5} \cong 1,26,\;\;\sqrt[{10}]{{10}} \cong 1,26$ .

Β. Δίχως κομπιουτεράκι

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{2} = \sqrt[{30}]{{{2^{10}}}} = \sqrt[{30}]{{1024}}\\ \sqrt[{10}]{{10}} = \sqrt[{30}]{{{{10}^3}}} = \sqrt[{30}]{{1000}} \end{array} \right.$ άρα $\displaystyle \sqrt[3]{2} > \sqrt[{10}]{{10}}$

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{2} = \sqrt[{21}]{{{2^7}}} = \sqrt[{21}]{{128}}\\ \sqrt[7]{5} = \sqrt[{21}]{{{5^3}}} = \sqrt[{21}]{{125}} \end{array} \right.$ άρα $\displaystyle \sqrt[3]{2} > \sqrt[7]{5}$

Αν θέλουμε να τα κατατάξουμε σε σειρά έχουμε ακόμα

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[7]{5} = \sqrt[{70}]{{{5^{10}}}}\\ \sqrt[{10}]{{10}} = \sqrt[{70}]{{{{10}^7}}} \end{array} \right.$

Είναι $\displaystyle \frac{{{{10}^7}}}{{{5^{10}}}} = \frac{{{5^7} \cdot {2^7}}}{{{5^7} \cdot {5^3}}} = \frac{{128}}{{125}} > 1 \Rightarrow \sqrt[{10}]{{10}} > \sqrt[7]{5}$ , οπότε $\displaystyle \sqrt[3]{2} > \sqrt[{10}]{{10}} > \sqrt[7]{5}$ .

KARKAR · #3

Ωραία Γιώργο ! Υψώνοντας στην τρίτη δύναμη τους αριθμούς , προκύπτει :

$5^{\dfrac{3}{7}}\simeq10^{0.3}\simeq 2$ ... Η τελευταία είναι η πασίγνωστη : $\ell og{2}\simeq 0.3$

Η μοιραία σύγκριση

Η μοιραία σύγκριση

Re: Η μοιραία σύγκριση

Re: Η μοιραία σύγκριση

Μέλη σε σύνδεση