Η μοιραία σύγκριση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η μοιραία σύγκριση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 08, 2018 12:59 pm

Α ) Από τους αριθμούς : \displaystyle \sqrt[3]{2} ,\sqrt[7]{5} , \sqrt[10]{10} , ποιος σας φαίνεται μεγαλύτερος ;

Β) Πείστε τον αναγνώστη , ότι δεν τους συκρίνατε με τη βοήθεια λογισμικού !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η μοιραία σύγκριση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιαν 08, 2018 1:48 pm

Καλημέρα σε όλους.
Α. Είναι ο πρώτος. Ευδιάκριτο δεν είναι με το μάτι.
Πράγματι, με κομπιουτεράκι με επτά οκτώ ψηφία θα φανεί η διαφορά, αλλά με δύο ψηφία θα πάρουμε  \displaystyle \sqrt[3]{2} \cong {\rm{1}}{\rm{,26}}{\rm{,}}\;\;\sqrt[7]{5} \cong 1,26,\;\;\sqrt[{10}]{{10}} \cong 1,26.

Β. Δίχως κομπιουτεράκι

Είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\sqrt[3]{2} = \sqrt[{30}]{{{2^{10}}}} = \sqrt[{30}]{{1024}}\\ 
\sqrt[{10}]{{10}} = \sqrt[{30}]{{{{10}^3}}} = \sqrt[{30}]{{1000}} 
\end{array} \right. άρα  \displaystyle \sqrt[3]{2} > \sqrt[{10}]{{10}}

Είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\sqrt[3]{2} = \sqrt[{21}]{{{2^7}}} = \sqrt[{21}]{{128}}\\ 
\sqrt[7]{5} = \sqrt[{21}]{{{5^3}}} = \sqrt[{21}]{{125}} 
\end{array} \right. άρα  \displaystyle \sqrt[3]{2} > \sqrt[7]{5}

Αν θέλουμε να τα κατατάξουμε σε σειρά έχουμε ακόμα

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\sqrt[7]{5} = \sqrt[{70}]{{{5^{10}}}}\\ 
\sqrt[{10}]{{10}} = \sqrt[{70}]{{{{10}^7}}} 
\end{array} \right.

Είναι  \displaystyle \frac{{{{10}^7}}}{{{5^{10}}}} = \frac{{{5^7} \cdot {2^7}}}{{{5^7} \cdot {5^3}}} = \frac{{128}}{{125}} > 1 \Rightarrow \sqrt[{10}]{{10}} > \sqrt[7]{5} , οπότε  \displaystyle \sqrt[3]{2} > \sqrt[{10}]{{10}} > \sqrt[7]{5} .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Η μοιραία σύγκριση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 08, 2018 7:10 pm

Ωραία Γιώργο ! Υψώνοντας στην τρίτη δύναμη τους αριθμούς , προκύπτει :

5^{\dfrac{3}{7}}\simeq10^{0.3}\simeq 2 ... Η τελευταία είναι η πασίγνωστη : \ell og{2}\simeq 0.3


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Γιώργος Ρίζος και 1 επισκέπτης