Όλοι ακέραιοι

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Όλοι ακέραιοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 11, 2018 2:20 pm

όλοι  ακέραιοι.png
όλοι ακέραιοι.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισοσκελές και εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R .

Το ιδιαίτερο της περίπτωσης είναι ότι τα μήκη των πλευρών αλλά και της ακτίνας ,

είναι ακέραιοι αριθμοί . Δημιουργήστε και σεις ένα τέτοιο τρίγωνο .Τριψήφιοι δεν

γίνονται δεκτοί . Λύσεις "της πλάκας" , δεκτές . Λύσεις "σοβαρές" , προτιμητέες :fool:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10122
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όλοι ακέραιοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 11, 2018 3:48 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 2:20 pm
όλοι ακέραιοι.pngΤο τρίγωνο του σχήματος είναι ισοσκελές και εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R .

Το ιδιαίτερο της περίπτωσης είναι ότι τα μήκη των πλευρών αλλά και της ακτίνας ,

είναι ακέραιοι αριθμοί .
Με χρήση του A=180-2B ο Νόμος των Ημιτόνων γίνεται \displaystyle{ \frac {a} {2\sin B \cos B} = \frac {b} {\sin B } = 2R } άρα

\displaystyle{\sin B =  \frac {b} {2R} , \, \cos B = \frac {a} {2b} } . Μπορούμε λοιπόν να επιλέξουμε \displaystyle{\sin B =  \frac {b} {2R} =  \frac {2t} {t^2+1} , \, \cos B = \frac {a} {2b}  = \frac {t^2-1} {t^2+1} }

Μία λύση είναι (ο έλεγχος απλός) η άπειρη οικογένεια \displaystyle{a=8t(t^2-1), \, b = 4t(t^2+1), \, R=(t^2+1)^2} και \displaystyle{\sin B } ως άνω. Εδώ ικανοποιείται ο Νόμος των Ημιτόνων, και το τρίγωνο μας κάνει την δουλειά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης