Όλοι ακέραιοι

KARKAR · #1

: όλοι ακέραιοι.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισοσκελές και εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας

.

Το ιδιαίτερο της περίπτωσης είναι ότι τα μήκη των πλευρών αλλά και της ακτίνας ,

είναι ακέραιοι αριθμοί . Δημιουργήστε και σεις ένα τέτοιο τρίγωνο .Τριψήφιοι δεν

γίνονται δεκτοί . Λύσεις "της πλάκας" , δεκτές . Λύσεις "σοβαρές" , προτιμητέες

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 2:20 pm
όλοι ακέραιοι.pngΤο τρίγωνο του σχήματος είναι ισοσκελές και εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας .

Το ιδιαίτερο της περίπτωσης είναι ότι τα μήκη των πλευρών αλλά και της ακτίνας ,

είναι ακέραιοι αριθμοί .

Με χρήση του A=180-2B

ο Νόμος των Ημιτόνων γίνεται $\displaystyle{ \frac {a} {2\sin B \cos B} = \frac {b} {\sin B } = 2R }$ άρα

$\displaystyle{\sin B = \frac {b} {2R} , \, \cos B = \frac {a} {2b} }$ . Μπορούμε λοιπόν να επιλέξουμε $\displaystyle{\sin B = \frac {b} {2R} = \frac {2t} {t^2+1} , \, \cos B = \frac {a} {2b} = \frac {t^2-1} {t^2+1} }$

Μία λύση είναι (ο έλεγχος απλός) η άπειρη οικογένεια $\displaystyle{a=8t(t^2-1), \, b = 4t(t^2+1), \, R=(t^2+1)^2}$ και $\displaystyle{\sin B }$ ως άνω. Εδώ ικανοποιείται ο Νόμος των Ημιτόνων, και το τρίγωνο μας κάνει την δουλειά.

Όλοι ακέραιοι

Όλοι ακέραιοι

Re: Όλοι ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση