Λάθος σχήμα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10127
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Λάθος σχήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 19, 2018 10:25 pm

Την βρήκα κάπου:

Γιατί είναι λάθος το εικονιζόμενο σχήμα;
.
Συνημμένα
Lathos shima.png
Lathos shima.png (8.14 KiB) Προβλήθηκε 430 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5686
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λάθος σχήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 19, 2018 11:37 pm

Το λάθος_ok.png
Το λάθος_ok.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
Πράγματι έιναι λάθος !, αν βάλουμε στρογγυλοποιήση στα 10 ψηφία φαίνεται το λάθος.

Με τα ακέραια νούμερα αν εφαρμόσουμε νόμους συνημίτονων και έχουμε βοήθεια από λογισμικό θα καταλήξουμε για το λάθος που υπάρχει .

Επίσης μπορούμε να δούμε το λάθος με συντεταγμένες


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10127
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Λάθος σχήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 20, 2018 12:23 am

Σωστά.

Ο Νόμος των συνημιτόνων στα τρία εσωτερικά τρίγωνα δίνει τις τρεις γωνίες στο εσωτερικό ως έχουσες συνημίτονα

\displaystyle{\frac {179}{224}, \, -\frac {151}{322}, \,  -\frac {5}{32}}.

Βρίσκοντας με λογισμικό τις ίδιες τις γωνίες και προσθέτοντας θα βρούμε 6,283185343... που είναι ελάχιστα μεγαλύτερο από το αναμενόμενο

2\pi = 6,283185306...


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7757
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Λάθος σχήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 20, 2018 3:55 pm

Ας αποδειχθεί και χωρίς χρήση λογισμικού.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10127
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Λάθος σχήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 20, 2018 4:09 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιαν 20, 2018 3:55 pm
Ας αποδειχθεί και χωρίς χρήση λογισμικού.
Θα βρούμε τις εφαπτόμενες των κεντρικών γωνιών, από τα συνημίτονα. Αν τις πούμε P,Q,R η συνθήκη P+Q+R=2\pi δίνει

\tan P +\tan Q +\tan R = \tan P \tan Q \tan R

Ελέγχουμε τώρα αν ισχύει αυτό (αλλά ομολογώ πως δεν το έκανα ...)


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7757
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Λάθος σχήμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 20, 2018 4:16 pm

Πιο απλά:

Χρησιμοποιούμε τον τύπο του Ήρωνα για να υπολογίσουμε τα τέσσερα εμβαδά. Κάθε εμβαδόν θα ισούται με \frac{1}{2}\sqrt{n_i} όπου n_i ακέραιος. Καταλήγουμε λοιπόν σε μια ισότητα της μορφής

\displaystyle  \sqrt{n_1} + \sqrt{n_2} + \sqrt{n_3} = \sqrt{n}

Είναι άμεσο από τον τύπο του Ήρωνα ότι 79|n αλλά 79^2 \nmid n και 79\nmid n_1,n_2,n_3. Είναι εύκολο τώρα να δείξουμε ότι αυτό είναι αδύνατο:

Έχουμε \sqrt{n_1} + \sqrt{n_2} = \sqrt{n} - \sqrt{n_2}, άρα (υψώνοντας στο τετράγωνο) 2\sqrt{n_1n_2} = m - 2\sqrt{nn_2} για κάποιο φυσικό m. Υψώνοντας ξανά στο τετράγωνο παίρνουμε ότι ο \sqrt{nn_2} είναι ρητός, άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5686
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λάθος σχήμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 20, 2018 10:49 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιαν 20, 2018 4:16 pm
Πιο απλά:

Χρησιμοποιούμε τον τύπο του Ήρωνα για να υπολογίσουμε τα τέσσερα εμβαδά. Κάθε εμβαδόν θα ισούται με \frac{1}{2}\sqrt{n_i} όπου n_i ακέραιος. Καταλήγουμε λοιπόν σε μια ισότητα της μορφής

\displaystyle  \sqrt{n_1} + \sqrt{n_2} + \sqrt{n_3} = \sqrt{n}

Είναι άμεσο από τον τύπο του Ήρωνα ότι 79|n αλλά 79^2 \nmid n και 79\nmid n_1,n_2,n_3. Είναι εύκολο τώρα να δείξουμε ότι αυτό είναι αδύνατο:

Έχουμε \sqrt{n_1} + \sqrt{n_2} = \sqrt{n} - \sqrt{n_2}, άρα (υψώνοντας στο τετράγωνο) 2\sqrt{n_1n_2} = m - 2\sqrt{nn_2} για κάποιο φυσικό m. Υψώνοντας ξανά στο τετράγωνο παίρνουμε ότι ο \sqrt{nn_2} είναι ρητός, άτοπο.
Πολύ ωραίο ! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Γιώργος Ρίζος και 1 επισκέπτης