ισόπλευρο από ορθογώνιο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

ισόπλευρο από ορθογώνιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 21, 2018 4:13 pm

Έχουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο και ένα μολύβι.

Πώς θα σχεδιάσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο; Δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τις διαβαθμίσεις που έχει
το τρίγωνό μας.

Ας το αφήσουμε σήμερα Κυριακή για παιδιά μέχρι Α' Γυμνασίου.
.
Συνημμένα
orthog trigo.png
orthog trigo.png (89.38 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 891
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: ισόπλευρο από ορθογώνιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 06, 2018 3:20 am

Καλημέρα. Μια προσπάθεια κ. Μιχάλη :
Ισόπλευρο από ορθογώνιο.PNG
Ισόπλευρο από ορθογώνιο.PNG (10.91 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
Σχεδιάζουμε αρχικά το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC με πλευρές τις εσωτερικές του τριγώνου που διαθέτουμε (*)
Ας θεωρήσουμε AB=AC=2 τότε BC=2\sqrt{2} . Φέρουμε AM\perp BC οπότε BM=MC=\sqrt{2} .
Στο σχήμα δεξιά έχουμε OH=AB=2 , η EOZ είναι κάθετη στην OH με OE=BC...OZ=BM .
Το Πυθαγόρειο θεώρημα μας δίνει EH^{2}=12 και ZH^{2}=6.
Ισχύει EZ^{2}=\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}=18=EH^{2}+ZH^{2} άρα σύμφωνα με το αντίστροφο του Π.Θ προκύπτει EH\perp ZH.
Φέρουμε την ημιευθεία ZH και παίρνουμε τμήματα HL=HS=AB=2 και χαράσσουμε το τρίγωνο LES .

Είναι ES^{2}=16=EL^{2}=LS^{2} οπότε ES=EL=LS=4 ,δηλ το τρίγωνο LES είναι ισόπλευρο!
(*) Χρειαζόμαστε τις εξωτερικές πλευρές του διαθέσιμου τριγώνου για να μπορούμε να ενώσουμε το σημείο E με τα Lκαι S.
Όπως (τώρα το ) βλέπω δεν κάναμε χρήση στις διαβαθμίσεις του τριγώνου,αλλά πρέπει να βάλουμε ένα σημάδι
π.χ στο μέσον της υποτείνουσας του εσωτερικού τριγώνου για να μεταφέρουμε το τμήμα MB στη θέση OZ.
Αν αυτό δεν επιτρέπεται μπορούμε να σχεδιάσουμε όλο το δεξιό σχήμα φροντίζοντας το OZ να ταυτίζεται με το MB
δηλ. να πάει .. :) .. Ο Μωάμεθ στο βουνό !
Ισόπλευρο από ορθογώνιο. 2PNG.PNG
Ισόπλευρο από ορθογώνιο. 2PNG.PNG (9.18 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Με βαθειά εκτίμηση - φιλικά Γιώργος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ισόπλευρο από ορθογώνιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 06, 2018 1:31 pm

Γιώργο, να 'σαι καλά.

Δεν θυμάμαι τι λύση είχα κατά νου, αλλά η επισυναπτόμενη είναι εντάξει.

Χρησιμοποιούμε το ορθογώνιο ισοσκελές τρεις φορές. Η δεύτερη είναι για να βρούμε την μεσοκάθετο της υποτείνουσας. Το ισόπλευρο
έχει πλευρά ίση με την υποτείνουσα (κόκκινο).
Συνημμένα
isoplevro apo orth isosk.png
isoplevro apo orth isosk.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1356
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: ισόπλευρο από ορθογώνιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Μάιος 07, 2018 10:18 pm

Ακολουθώ τα ίδια βήματα του Μιχάλη.
Νομίζω το συνημμένο σχήμα περιγράφει ικανοποιητικά τη διαδικασία που ακολουθούμε.
Συνημμένα
isoplevro.png
isoplevro.png (4 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 891
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: ισόπλευρο από ορθογώνιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 08, 2018 2:21 am

Χαιρετώ και πάλι ..για να εκφράσω κυρίως τον θαυμασμό μου για ότι ακολούθησε την ανάρτησή μου.
Το σκεπτικό στην προσπάθειά μου ήταν να μετρήσουμε στην μεσοκάθετο πλευράς k ύψος ίσο με k\sqrt{3}/2 .
Πράγματι και στα δύο σχήματα είναι EH=SL\sqrt{3}/2 που εξασφαλίζει ότι το τρίγωνο LES είναι ισόπλευρο.
Ο σχεδιασμός του ισοπλεύρου που παρουσίασε ο αγαπητός Μιχάλης είναι εντυπωσιακός!
Αρκεί να τοποθετήσουμε την υποτείνουσα του τριγώνου (ίση με τη βάση ) έτσι ώστε το ένα άκρο της να είναι και άκρο της βάσης
και το άλλο να ανήκει στην μεσοκάθετο.
Χωρίς υπολογισμούς , όπου η εικόνα "μιλάει" σε ευρύτερο κοινό , συνεπώς υπέροχη κατασκευή!

Στο ίδιο πνεύμα και η κατασκευή του αγαπητού Ανδρέα. Και εδώ ο λόγος ύψους προς τη βάση (εννοείται σε ισοσκελές)
είναι ο κατάλληλος : \dfrac{\upsilon }{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} για να καταστεί το τρίγωνο ισόπλευρο.
Αν όμως το τρίγωνο που διαθέτουμε έχει κάθετες πλευρές ίσες με a
τότε κατά τη γνώμη μου υπάρχει δυσκολία στην κατασκευή του Ανδρέα :
Πώς θα μεταφέρουμε την πλευρά μήκους a \sqrt{3} και πώς θα χαράξουμε τις πλαϊνές πλευρές μήκους 2a ;
Nομίζω ότι η δυσκολία αίρεται αν θεωρήσουμε το αρχικό ορθ. και ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές τις εσωτερικές του οργάνου
κι' ακόμη αν δεν μεταφέρουμε την πλευρά μήκους a \sqrt{3} .
Στο σχήμα που ακολουθεί η κατασκευή είναι ελαφρά παραλλαγή αυτής του Ανδρέα.
8-5-18 Ισόπλευρο...PNG
8-5-18 Ισόπλευρο...PNG (8.03 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
AB=AC=a ..AH=BC=a\sqrt{2}..BH=a \sqrt{3} ..EZ=BE=BZ=2a. Πάντοτε φιλικά , Γιώργος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ισόπλευρο από ορθογώνιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 08, 2018 7:56 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Μάιος 07, 2018 10:18 pm
Νομίζω το συνημμένο σχήμα περιγράφει ικανοποιητικά τη διαδικασία που ακολουθούμε.
Για χάρη των μαθητών βάζω την πλήρη διαδικασία της κατασκευής του Ανδρέα. Στο τρίτο σχήμα
είναι η εύρεση του a\sqrt 3 (όπως στο δεύτερο δικό του σχήμα) που είναι σημειωμένη με πράσινο.
Στο τέταρτο σχήμα είναι η χρήση του a\sqrt 3 για την ολοκλήρωση του ζητούμενου ισοπλεύρου
(όπως στο τρίτο δικό του σχήμα) πλευράς 2a.
.
Συνημμένα
Poulos isoplevro.png
Poulos isoplevro.png (20.76 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Demetres, kkala και 2 επισκέπτες