Μικροδιαφορά

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μικροδιαφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 25, 2018 2:25 pm

Μικροδιαφορά.png
Μικροδιαφορά.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Η εφαπτομένη στο σημείο S της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=e^x

και η κάθετη προς τον οριζόντιο άξονα από το S , τον τέμνουν στα σημεία B και A

αντίστοιχα . Ενδιαφερόμαστε για τη διαφορά d=SB-SA .

α) Για ποια θέση του S , είναι d=\dfrac{1}{10} ;

β) Δείξτε ότι καθώς το S "ανεβαίνει " , η διαφορά d μικραίνει .

Εδώ είναι η διασκέδαση : Απαντήστε στο β) και με άλλο επιχείρημα :idea:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5675
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μικροδιαφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 25, 2018 4:18 pm

Μικροδιαφορά.png
Μικροδιαφορά.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές


Για κάθε S(a,b)\,\,\,,b > 0 στην καμπύλη πάνω έχω SB \to y - b = b(x - a) που για y = 0 δίδει x = {X_B} = a - 1 \Rightarrow \boxed{AB = 1} .

Θέτω \widehat {ASB} = 2\theta και έχω : SB - SA = \dfrac{1}{{\sin 2\theta }} - \dfrac{{\cos 2\theta }}{{\sin 2\theta }} \Rightarrow \boxed{d = d(\theta ) = \tan \theta }

Αν d = \dfrac{1}{{10}} \Rightarrow \tan 2\theta  = \dfrac{{20}}{{99}} \Rightarrow \boxed{b = \dfrac{{99}}{{20}}} .

Επειδή καθώς το S «ανεβαίνει» η γωνία \theta μειώνεται και η συνάρτηση y = \tan \theta είναι γνήσια αύξουσα στο (0, + \infty ) η διαφορά d θα μειώνεται.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6643
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μικροδιαφορά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 25, 2018 5:37 pm

Μικροδιαφορά.png
Μικροδιαφορά.png (8.56 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές
\displaystyle S{B^2} - S{A^2} = 1 \Leftrightarrow d(SB + SA) = 1 \Leftrightarrow d = \frac{1}{{SA + SB}} \Leftrightarrow \boxed{d(x) = \frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^{2x}} + 1} }}}

α) \displaystyle {e^x} + \sqrt {{e^{2x}} + 1}  = 10 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{99}}{{20}} \Leftrightarrow \boxed{AS=\frac{99}{20}}

β) \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } d(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^{2x}} + 1} }} = 0, άρα όσο το S "ανεβαίνει" η διαφορά d μικραίνει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης