Πισίνες και αντλίες

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1367
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Πισίνες και αντλίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Φεβ 10, 2018 9:53 pm

Δύο μεγάλες και μια μικρή αντλία μπορούν να γεμίσουν μια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες.
Μια μεγάλη και \displaystyle 3 μικρές αντλίες μπορούν επίσης να γεμίσουν την ίδια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες.
Πόσες ώρες θα χρειαστούν \displaystyle 4 μεγάλες και \displaystyle 4 μικρές αντλίες για να γεμίσει η πισίνα ;
(Υποθέτουμε ότι όλες οι μεγάλες αντλίες είναι όμοιες και όλες οι μικρές επίσης όμοιες.)


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πισίνες και αντλίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 10, 2018 10:29 pm

exdx έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2018 9:53 pm
Δύο μεγάλες και μια μικρή αντλία μπορούν να γεμίσουν μια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες.
Μια μεγάλη και \displaystyle 3 μικρές αντλίες μπορούν επίσης να γεμίσουν την ίδια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες.
Πόσες ώρες θα χρειαστούν \displaystyle 4 μεγάλες και \displaystyle 4 μικρές αντλίες για να γεμίσει η πισίνα ;
(Υποθέτουμε ότι όλες οι μεγάλες αντλίες είναι όμοιες και όλες οι μικρές επίσης όμοιες.)
Έστω x,y οι παροχές της μικρής και της μεγάλης αντίστοιχα.

Σε 4 ώρες η συνολική παροχή 1 μικρής και 2 μεγάλων είναι : x + 2y που είναι

ιση με τη συνολική παροχή 3x + y και άρα x + 2y = 3x + y \Leftrightarrow \boxed{y = 2x}

Δηλαδή κάθε μεγάλη αντλία έχει διπλάσια παροχή από κάθε μικρή .

¨Έτσι με συνολική παροχή 5x απαιτούνται 4 ώρες για να γεμίσει η πισίνα.

Ενώ οι 4 μικρές μαζί με τις 4 μεγάλες έχουν συνολική παροχή :

4x + 8x = 12x και συνεπώς θα γεμίσουν τη πισίνα σε 4 \cdot \dfrac{5}{{12}} = \dfrac{5}{3} ώρες :

Δηλαδή σε χρόνο , \boxed{t = 1h + 40\min \,\,}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1367
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πισίνες και αντλίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Φεβ 10, 2018 11:41 pm

Ευχαριστώ Νίκο

Κάποια στοιχειώδης λύση ; (Χωρίς μεταβλητές και εξισώσεις )


Kαλαθάκης Γιώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πισίνες και αντλίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 11, 2018 12:14 am

exdx έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2018 11:41 pm
Κάποια στοιχειώδης λύση ; (Χωρίς μεταβλητές και εξισώσεις )
Αν είχαμε δύο ίδιες πισίνες και στην μία τρέχουν δύο μεγάλες και μια μικρή αντλία
ενώ στην άλλη μία μεγάλη και τρεις μικρές, ξέρουμε ότι οι πισίνες θα γεμίσουν συγχρόνως.

Κλείνουμε τώρα από μία μεγάλη και μία μικρή αντλία σε κάθε μία από τις δύο πισίνες. Πάλι θα γεμίσουν συγχρόνως.

Δηλαδή η μία μεγάλη που έμεινε ανοικτή στην μία πισίνα κάνει την ίδια δουλειά με τις δύο μικρές
αντλίες που έμειναν ανοικτές στην δεύτερη πισίνα.

Με άλλα λόγια αφού δύο μεγάλες και μία μικρή αντλία γεμίζουν την πρώτη πισίνα σε 4 ώρες, θα πάρει πάλι
τέσσερις ώρες αν αντικαταστήσουμε κάθε μεγάλη αντλία με δύο μικρές. Τότε όμως θα έχουμε πέντε μικρές
αντλίες, που χρειάζονται 4 ώρες να γεμίσουν την πισίνα. Άρα οι 12 μικρές αντλίες θέλουν 4\times  \frac {5}{12}=  \frac {5}{3}
ώρες να γεμίσουν την πισίνα.

Έλα όμως που 12 μικρές αντλίες κάνουν την ίδια δουλειά με 4 μεγάλες και 4 μικρές. Και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πισίνες και αντλίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 11, 2018 11:57 am

exdx έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2018 9:53 pm
Δύο μεγάλες και μια μικρή αντλία μπορούν να γεμίσουν μια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες.
Μια μεγάλη και \displaystyle 3 μικρές αντλίες μπορούν επίσης να γεμίσουν την ίδια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες.
Πόσες ώρες θα χρειαστούν \displaystyle 4 μεγάλες και \displaystyle 4 μικρές αντλίες για να γεμίσει η πισίνα ;
(Υποθέτουμε ότι όλες οι μεγάλες αντλίες είναι όμοιες και όλες οι μικρές επίσης όμοιες.)
Και αλλιώς, πάλι με Πρακτική Αριθμητική.

Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι αν μία βρύση γεμίζει μία δεξαμενή σε μία ώρα, και μία άλλη σε μισή ώρα τότε
οι δύο μαζί την γεμίζουν σε  \frac {1}{3} της ώρας (απλό και γνωστό).

Τώρα, αφού

δύο μεγάλες και μια μικρή αντλία μπορούν να γεμίσουν μια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες σημαίνει (οκταπλασιάζουμε τις βρύσες)

16 μεγάλες και 8 μικρές αντλίες γεμίζουν την πισίνα σε 4:8= μισή ώρα (*).

Επίσης, αφού

μία μεγάλη και τρεις μικρές αντλίες μπορούν να γεμίσουν μια πισίνα σε \displaystyle 4 ώρες σημαίνει (τετραπλασιάζουμε τις βρύσες)

4 μεγάλες και 12 μικρές αντλίες γεμίζουν την πισίνα σε 4:4= μία ώρα (**).


Βάζουμε τώρα όλες τις προαναφερθείσες βρύσες, τις (*),(**), να δουλέψουν μαζί.

Συμπεραίνουμε ότι

16+4=20 μεγάλες και 4+12=20 μικρές αντλίες γεμίζουν την πισίνα σε  \frac {1}{3} της ώρας (λόγω αυτού που έγραψα στην αρχή) .


Διαιρούμε με το 5, οπότε

4 μεγάλες και 4 μικρές αντλίες γεμίζουν την πισίνα σε 5\times \frac {1}{3} ώρες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης