Απειροτρίγωνο

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Το παρακάτω πρόβλημα το είχα μάθει από τον κ.Μπάμπη Στεργίου.

Αν παρατηρήσετε την εικόνα , θα δείτε με ποιον τρόπο σχηματίζονται οι γραμμές του άπειρου τριγώνου. Το ερώτημα είναι να βρεθεί σε ποια γραμμή εμφανίζεται για πρώτη φορά ο αριθμός 2016.

: New Picture (2)PATTERN.JPG (31.9 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

#2

Στην

-οστή διαγώνιο γραμμή εμφανίζονται με την σειρά όλα τα πολλαπλάσια του

.

Άρα στην

-οστή γραμμή εμφανίζονται τα $n \times 1, (n-1)\times 2, (n-2) \times 3, \cdots, 1 \times n$ . Δηλαδή όλα τα

με

.

Θέλουμε λοιπόν να γράψουμε τον 2016

ως γινόμενο δύο αριθμών με όσο το δυνατό μικρότερο άθροισμα.

Είναι $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 42 \cdot 48$

Οπότε ο 2016

εμφανίζεται σίγουρα στην γραμμή 42+48-1=89

. Δεν μπορεί να εμφανιστεί πιο γρήγορα, διότι τότε θα είχαμε a,b

με $a+b \leqslant 89$ και ab = 2016

. Αυτό είναι αδύνατον αφού τότε θα είχαμε

$\displaystyle 8064 = 4ab \leqslant (a+b)^2 \leqslant 89^2 = 7921$ .

Επεξεργασία: Διορθώθηκε το

σε

μετά από επισήμανση του Λάμπρου Κατσάπα.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 6:37 pm
Στην -οστή διαγώνιο γραμμή εμφανίζονται με την σειρά όλα τα πολλαπλάσια του .

Άρα στην -οστή γραμμή εμφανίζονται τα $n \times 1, (n-1)\times 2, (n-2) \times 3, \cdots, 1 \times n$ . Δηλαδή όλα τα με .

Θέλουμε λοιπόν να γράψουμε τον ως γινόμενο δύο αριθμών με όσο το δυνατό μικρότερο άθροισμα.

Είναι $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 42 \cdot 48$

Οπότε ο εμφανίζεται σίγουρα στην γραμμή . Δεν μπορεί να εμφανιστεί πιο γρήγορα, διότι τότε θα είχαμε με $a+b \leqslant 89$ και . Αυτό είναι αδύνατον αφού τότε θα είχαμε

$\displaystyle 8064 = 4ab \leqslant (a+b)^2 \leqslant 89^2 = 7921$ .

Επεξεργασία: Διορθώθηκε το σε μετά από επισήμανση του Λάμπρου Κατσάπα.

Ευχαριστώ.

Βάζω και τη δική μου αντιμετώπιση. Δουλεύουμε μόνο με τα διαγώνια στοιχεία (οι διαγώνιοι σαρώνουν όλα τα στοιχεία -

αριθμούς του τριγώνου).

Στη

-οστή γραμμή ο ακραίος αριθμός είναι

Ξεκινώντας από αυτόν αν κινηθούμε διαγώνια προς τα

κάτω παίρνουμε τα πολλαπλάσια του

Ο

θα βρίσκεται σε αυτή τη διαγώνιο αν

n|2016.

Παρατηρούμε ότι αν ξεκινήσουμε από την πρώτη διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=1|2016

) θα

πετύχουμε το 2016

στη

η σειρά.

Αν ξεκινήσουμε από τη δεύτερη διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=2|2016

) θα πετύχουμε το 2016

στη $\frac{2006}{2}+1=\frac{2006}{2}+(2-1)$ σειρά.

Αν ξεκινήσουμε από την τρίτη διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=3|2016

) θα πετύχουμε το 2016

στη $\frac{2006}{3}+2=\frac{2006}{3}+(3-1)$ σειρά.

Γενικά, ξεκινώντας από την

-οστή διαγώνιο (ακραίο στοιχείο το n=k|2016

) θα πετύχουμε το

2016

στη $\frac{2006}{k}+(k-1)$ σειρά. Ο στόχος μας είναι να βρούμε το

για το οποίο πετυχαίνουμε το

$\underset{k|2016}{min} (\frac{2016}{k}+k-1)$ . Ένας τρόπος είναι να δοκιμάσουμε τους διαιρέτες του 2016

και να βρούμε ποιος από αυτούς μας δίνει το ελάχιστο. Καλύτερα όμως να θεωρήσουμε τη συνάρτηση

$f(x)=\frac{2016}{x}+x-1,x\in[1,2016]$ . Αυτή έχει ελάχιστο για $x=\sqrt{2016}\approx 44,9.$

Δοκιμάζουμε τώρα τους κοντινότερους (εκατέρωθεν) στο 44,9

διαιρέτες του 2016

. Είναι οι αριθμοί

και το

. Είναι

και επομένως στην

η γραμμή πετυχαίνουμε

πρώτη φορά το 2016.

Απειροτρίγωνο

Απειροτρίγωνο

Re: Απειροτρίγωνο

Re: Απειροτρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση