Ο πειρασμός

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο πειρασμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 12, 2018 7:16 pm

Ο πειρασμός.png
Ο πειρασμός.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές
Δίπλα στο σταθερής πλευράς a τετράγωνο ABCD , σχεδιάζουμε τετράγωνο

BEZH , πλευράς n , 0<n<a . Οι AC,DZ τέμνονται στο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία S,H,E είναι συνευθειακά .

β) Αν a=4 , δείξτε ότι : (ASZ)=E(n)=n+4 .

Αν νικήσετε τον καρτεσιανό πειρασμό , αλλάζετε επίπεδο :lol:


Λέξεις Κλειδιά:
τετράγωνο
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ο πειρασμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μαρ 12, 2018 11:50 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 7:16 pm
 Ο πειρασμός.pngΔίπλα στο σταθερής πλευράς a τετράγωνο ABCD , σχεδιάζουμε τετράγωνο

BEZH , πλευράς n , 0<n<a . Οι AC,DZ τέμνονται στο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία S,H,E είναι συνευθειακά .

β) Αν a=4 , δείξτε ότι : (ASZ)=E(n)=n+4 .

Αν νικήσετε τον καρτεσιανό πειρασμό , αλλάζετε επίπεδο :lol:
Θανάση, είναι (σχεδόν) προφανές ότι το S είναι το μέσο της DZ και όλα τα ερωτήματα είναι προφανή (χωρίς σχεδόν)!

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο πειρασμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 13, 2018 7:43 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 11:50 pm
... είναι (σχεδόν) προφανές ότι το S είναι το μέσο της DZ και όλα τα ερωτήματα είναι προφανή (χωρίς σχεδόν)!

Η ορθότερη διατύπωση θα ήταν :" είναι (σχεδόν) προφανές (για μερικούς ) ότι το S είναι το μέσο της DZ " .

Αρχικά είναι προφανές ότι ο κος KARKAR ταλαιπώρησε τους αρχικούς αναγνώστες της άσκησης

παραλείποντας το 4 από το n+4 .

Το γεγονός πάντως , ότι δεν υπήρξε απάντηση , μάλλον κλονίζει την "προφάνεια" :lol: .

Θεωρώ βέβαιο ότι ο πειρασμός για καρτεσιανή λύση , είναι όντως ακατανίκητος ...


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ο πειρασμός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 13, 2018 8:02 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 13, 2018 7:43 am
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 11:50 pm
... είναι (σχεδόν) προφανές ότι το S είναι το μέσο της DZ και όλα τα ερωτήματα είναι προφανή (χωρίς σχεδόν)!
...

Το γεγονός πάντως , ότι δεν! υπήρξε απάντηση , μάλλον κλονίζει την "προφάνεια" :lol: .

Θεωρώ βέβαιο ότι ο πειρασμός για καρτεσιανή λύση , είναι όντως ακατανίκητος ...
Τους λογαριασμούς με τον "ακατανίκητο" Καρτέσιο θα τους "κανονίσω" μετά το σχολείο...


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13277
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο πειρασμός

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 13, 2018 9:21 am

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 7:16 pm
 Ο πειρασμός.pngΔίπλα στο σταθερής πλευράς a τετράγωνο ABCD , σχεδιάζουμε τετράγωνο

BEZH , πλευράς n , 0<n<a . Οι AC,DZ τέμνονται στο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία S,H,E είναι συνευθειακά .

β) Αν a=4 , δείξτε ότι : (ASZ)=E(n)=n+4 .

Αν νικήσετε τον καρτεσιανό πειρασμό , αλλάζετε επίπεδο :lol:
Καλημέρα σε όλους!
Ο πειρασμός.png
Ο πειρασμός.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές
α) Έστω O, K τα κέντρα του μεγάλου και του μικρού τετραγώνου αντίστοιχα. Επειδή AC||BZ, το S θα είναι μέσο του DZ.

Τότε όμως θα είναι KS||BD αλλά και KH||BD, οπότε η EH διέρχεται από το S.

β) \displaystyle (ASZ) = \frac{{(ADZ)}}{2} = \frac{a}{4}(a + n)\mathop = \limits^{a = 4} n + 4


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9853
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ο πειρασμός

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 13, 2018 10:25 am

πειρασμός.png
πειρασμός.png (25.37 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές
ν T το σημείο τομής της AC\, με την HZ επειδή οι BZ//AC ( ίδια κλίση ) το

Τετράπλευρο ABZT είναι παραλληλόγραμμο και άρα TZ = AB = DC \Rightarrow \boxed{TS = SC}.

Προφανώς το τρίγωνο HCT είναι ορθογώνιο ισοσκελές και άρα η διάμεσός του

HS σχηματίζει με την HT γωνία 45^\circ δηλαδή το S ανήκει στην ευθεία της

διαγωνίου HE του «μικρού» τετραγώνου.

Αλλιώς ( Σαν τον Γιώργο πιο πάνω) οι HS,HE είναι κάθετες σε παράλληλες ευθείες οπότε και μεταξύ τους παράλληλες .

Τέλος έχω \boxed{HC = a - n} και άρα :


(SAZ) = (STZ) + (TAZ) = (STZ) + (ABZ) , οπότε :

\boxed{(SAZ) = \frac{{TZ}}{2} \cdot \frac{{HC}}{2} + \frac{{AB}}{2} \cdot ZE = \frac{{a(a - n)}}{4} + \frac{{an}}{2} = a\frac{{a + n}}{4}} .

Προφανές ότι η λύση του Γιώργου μου αρέσει πιο πολύ . Αναμένω τις λύσεις του Στάθη και του Θανάση .


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ο πειρασμός

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 13, 2018 12:14 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 13, 2018 9:21 am
KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 7:16 pm
 Ο πειρασμός.pngΔίπλα στο σταθερής πλευράς a τετράγωνο ABCD , σχεδιάζουμε τετράγωνο

BEZH , πλευράς n , 0<n<a . Οι AC,DZ τέμνονται στο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία S,H,E είναι συνευθειακά .

β) Αν a=4 , δείξτε ότι : (ASZ)=E(n)=n+4 .

Αν νικήσετε τον καρτεσιανό πειρασμό , αλλάζετε επίπεδο :lol:
Καλημέρα σε όλους! Ο πειρασμός.png
α) Έστω O, K τα κέντρα του μεγάλου και του μικρού τετραγώνου αντίστοιχα. Επειδή AC||BZ, το S θα είναι μέσο του DZ.

Τότε όμως θα είναι KS||BD αλλά και KH||BD, οπότε η EH διέρχεται από το S.

β) \displaystyle (ASZ) = \frac{{(ADZ)}}{2} = \frac{a}{4}(a + n)\mathop = \limits^{a = 4} n + 4
Αυτό!


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5285
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ο πειρασμός

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μαρ 13, 2018 1:07 pm

Καλημέρα σε όλους. Μια προσέγγιση στο (α) από το σχολείο.

13-03-2018 Next level.png
13-03-2018 Next level.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές

Έστω MB = b, οπότε AM = a-b και ME = b+n,

Αφού AMS ισοσκελές, MS = a-b άρα KS =a-b- n, SL= b.

Από την ομοιότητα των DLS, SKZ είναι \displaystyle \frac{{SL}}{{DL}} = \frac{{SK}}{{KZ}} \Leftrightarrow \frac{b}{{a - b}} = \frac{{a - b - n}}{{b + n}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow n = a - 2b .

Οπότε ME=n+b=a-b=AM άρα AME ισοσκελές, οπότε \displaystyle \widehat {AES} = 45^\circ , δηλαδή τα S,H, E στην ίδια ευθεία.


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2770
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ο πειρασμός

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 13, 2018 7:29 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 7:16 pm
 Ο πειρασμός.pngΔίπλα στο σταθερής πλευράς a τετράγωνο ABCD , σχεδιάζουμε τετράγωνο

BEZH , πλευράς n , 0<n<a . Οι AC,DZ τέμνονται στο S .

α)Δείξτε ότι τα σημεία S,H,E είναι συνευθειακά .

β) Αν a=4 , δείξτε ότι : (ASZ)=E(n)=n+4 .

Αν νικήσετε τον καρτεσιανό πειρασμό , αλλάζετε επίπεδο :lol:

α) Είναι \displaystyle DS = SB άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle DBZ θα είναι \displaystyle SB = SZ

Ακόμη, \displaystyle HB = HZ οπότε τα \displaystyle H,S θα είναι σημεία της μεσοκαθέτου \displaystyle HE της \displaystyle BZ

β) \displaystyle SA//ZB \Rightarrow 2\left( {SAZ} \right) = 2\left( {SBA} \right) = \left( {DSBA} \right) = \left( {DHBA} \right)(Αφού \displaystyle SH//DB)

Έτσι, \displaystyle 2\left( {SAZ} \right) = \frac{{\left( {AD + HB} \right)AB}}{2} \Rightarrow \boxed{\left( {SAZ} \right) = \frac{{\left( {a + n} \right)a}}{4}} και για \displaystyle a = 4 \Rightarrow \left( {SAZ} \right) = 4 + n
πειρασμός.png
πειρασμός.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές


Κορυφή
nikkru
Δημοσιεύσεις: 347
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ο πειρασμός

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Τετ Μαρ 14, 2018 12:17 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 7:16 pm
 Ο πειρασμός.pngΔίπλα στο σταθερής πλευράς a τετράγωνο ABCD , σχεδιάζουμε τετράγωνο

BEZH , πλευράς n , 0<n<a . Οι AC,DZ τέμνονται στο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία S,H,E είναι συνευθειακά .

β) Αν a=4 , δείξτε ότι : (ASZ)=E(n)=n+4 .

Αν νικήσετε τον καρτεσιανό πειρασμό , αλλάζετε επίπεδο :lol:
Δεν νομίζω οτι χρειάζεται αλλαγή επιπέδου.

Με μια μικρή περιστροφή ο Καρτέσιος κάνει θαύματα!

Περιστρέφουμε το σχήμα κατά 45^{\circ} και το τοποθετούμε στο καρτρεσιανό σύστημα όπως φαίνεται στο σχήμα.
.
Πειρασμός.png
Πειρασμός.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές
.
a) Αν BD=2k και BZ=2m, τότε, οι ευθείες AC:y=k και DZ:\frac{x}{2m}+\frac{y}{2k}=1 τέμνονται στο σημείο S(m,k) που ανήκει στην ευθεία EH:x=m.

b) Το εμβαδόν του τριγώνου ASZ υπολογίζεται και αυτό άμεσα, είτε μέσω της ορίζουσας είτε από τον τύπο (ASZ)=\frac{\beta \cdot\upsilon }{2}.

Είναι βέβαια, k=\frac{a\sqrt{2}}{2} και m=\frac{n\sqrt{2}}{2}.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες