Διχοτομήσεις

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10100
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διχοτομήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 21, 2018 2:54 pm

Διχοτομήσεις.png
Διχοτομήσεις.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0) παρατηρήσαμε ότι η διχοτόμος CE ,

διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου ABD , το οποίο σχηματίζει η διχοτόμος BD

με τις κάθετες πλευρές c,b. Υπολογίτε την : \tan B .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6023
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτομήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 21, 2018 6:36 pm

\boxed{\varepsilon \varphi B = \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {33} }}{{36}} + \frac{{13}}{{108}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {33} }}{{36}} - \frac{{13}}{{108}}}} + \frac{1}{3}}
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Μαρ 22, 2018 3:57 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7316
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτομήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 21, 2018 7:59 pm

Ρίζα της εξίσωσης 2x^3-2x^2+2x-1=0

Βρίσκω \displaystyle \tan B = \frac{1}{6}\left( {2 - \frac{{4\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{13 + 3\sqrt {33} }}}} + \sqrt[3]{{26 + 6\sqrt {33} }}} \right)

Φαντάζομαι ότι είναι ίδιο με του Νίκου, αλλά δεν έχω το κουράγιο να το επαληθεύσω μετά από όλη τη διαδικασία.

Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Μαρ 22, 2018 8:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6023
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτομήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μαρ 22, 2018 3:55 am

Διχοτομήσεις.png
Διχοτομήσεις.png (26.8 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Φέρνω από το S παράλληλη στη διχοτόμο AS . Επειδή (DSA) = (ZSA) γιατί έχουν

κοινή βάση SA και ίσα ύψη από τις δύο άλλες κορυφές θα είναι η SE διάμεσος στο

τρίγωνο SZB . Έτσι θα έχω:

x = \tan B = \dfrac{b}{c} \Rightarrow b = cx\,\,(1) και a = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \,\,\,\,(2) ,

ZA + AE = EB \Leftrightarrow AD + AE = EB δηλαδή :


b(\dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}) = \dfrac{a}{{a + b}} που λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) έχω εξίσωση :


2{x^3} - 2{x^2} + 2x - 1 = 0 με μια πραγματική ρίζα :

\boxed{x = \tan B = \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {33} }}{{36}} + \frac{{13}}{{108}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {33} }}{{36}} - \frac{{13}}{{108}}}} + \frac{1}{3}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7316
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτομήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 22, 2018 8:50 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 21, 2018 2:54 pm
Διχοτομήσεις.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0) παρατηρήσαμε ότι η διχοτόμος CE ,

διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου ABD , το οποίο σχηματίζει η διχοτόμος BD

με τις κάθετες πλευρές c,b. Υπολογίτε την : \tan B .
Διχοτομήσεις.png
Διχοτομήσεις.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
\displaystyle \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{c}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{{SE}}{{EC}} = \frac{c}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \frac{h}{b} = \frac{c}{{a + b + c}} \Leftrightarrow h = \frac{{bc}}{{a + b + c}}

\displaystyle (ADB) = 2(EBS) \Leftrightarrow \frac{1}{2}AD \cdot c = EB \cdot h \Leftrightarrow \frac{{b{c^2}}}{{a + c}} = \frac{{2ac}}{{a + b}} \cdot \frac{{bc}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \boxed{b = \frac{{c(a + c)}}{{2a + c}}} (1)

Θέτω \displaystyle \frac{b}{c} = x\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} x = \frac{{a + c}}{{2a + c}} κι επειδή a^2=b^2+c^2, θα είναι a=c\sqrt{x^2+1}, οπότε καταλήγουμε στην

\displaystyle \sqrt {{x^2} + 1}  = \frac{{1 - x}}{{2x - 1}},{\rm{ }}\frac{1}{2} < x < 1 και \boxed{2{x^3} - 2{x^2} + 2x - 1 = 0} απ'όπου παίρνουμε τη

μοναδική ρίζα που έγραψα στην προηγούμενη ανάρτηση και που είναι προσεγγιστικά \boxed{\tan B \simeq 0.6478}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης