Εξίσωση τέμνουσας

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξίσωση τέμνουσας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 01, 2018 3:31 pm

Τέμνουσα.png
Τέμνουσα.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Οι αριθμοί r,y είναι θετικοί . Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ST



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6849
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση τέμνουσας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 01, 2018 6:42 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 01, 2018 3:31 pm
Τέμνουσα.pngΟι αριθμοί r,y είναι θετικοί . Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ST
Εξίσωση τέμνουσας.png
Εξίσωση τέμνουσας.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
\displaystyle ST = 2r \Leftrightarrow {(y + r)^2} + {(r + 3)^2} = 4{r^2} \Leftrightarrow \boxed{2r^2=y^2+2ry+6r+9} (1)

\displaystyle SP \cdot ST = S{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow 2r(r - 1) = {(r + 3)^2} + {y^2} - {r^2} \Leftrightarrow \boxed{2r^2=y^2+8r+9} (2)

Από (1), (2) βρίσκω \boxed{y=1} και \boxed{r=5}, οπότε \boxed{ST:y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Απρ 01, 2018 10:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10234
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση τέμνουσας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 01, 2018 7:07 pm

Χάριν παιδιάς ας μη χρησιμοποιήσουμε την πληροφορία ότι το T είναι στην κάθετο από το O αλλά στην θέση της να απαιτήσουμε ότι τα r,y είναι φυσικοί αριθμοί. Τώρα πάλι μπορούμε να βρούμε τα r,y, οπότε η εξίσωση είναι άμεση.

Υπολογίζοντας την δύναμη του σημείου S με δύο τρόπους έχουμε \displaystyle{ST\cdot SP=SK^2-r^2}, οπότε \displaystyle{2r(r-1)=y^2+(r+3)^2-r^2}. Άρα \displaystyle{2r^2 -8r-9 =y^2}. Αυτή στους ακεραίους λύνεται με διάφορους τρόπους, αλλά ακολουθεί ένας από αυτούς.

Έπεται y περιττός, y=2Y+1, οπότε \displaystyle{2r^2 -8r-9 =4Y^2+4Y+1} ή \displaystyle{(r-5)(r+1)=4Y(Y+1)} . Άρα r περιττός, r=2R-1, οπότε 2(R-3)R=Y(Y+1). Επειδή οι παράγοντες στο δεξί μέλος είναι πρώτοι προς αλλήλους αν ο όρος είναι μη μηδενικός, εύκολα βλέπουμε ότι τελικά Y=0, R=3. Έτσι r=5, y=1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης