Πάνω ή κάτω ;

Γιώργος Μήτσιος

Χαιρετώ! Προσωπική σύνθεση.

: Πάνω ή κάτω ;.PNG (4.4 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει πλευρές a,b,c

. Στην προέκταση της

παίρνουμε

.

Αν $\widehat{BAC}=2\widehat{B}$ και οι a, c, a-b

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε

1) Βρείτε (ή ..ποντάρετε) αν ο αριθμός $m=\dfrac{200\left ( BAC \right )}{111\left ( ABE \right )}$ είναι πάνω ή κάτω από την μονάδα.

2) Να εξεταστεί αν οι είναι διαδοχικοί όροι ...;... προόδου .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος

Χαιρετώ. Ας επαναφέρω το θέμα θέτοντας ακόμη ένα ζητούμενο :
Να εξεταστεί αν τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου
και συμπληρώνοντας την λέξη που λείπει στο ζητούμενο :
Να εξεταστεί αν οι a, 2c, b

είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου .

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 10, 2018 12:02 am
Χαιρετώ! Προσωπική σύνθεση.
Πάνω ή κάτω ;.PNG
Το τρίγωνο έχει πλευρές . Στην προέκταση της παίρνουμε .

Αν $\widehat{BAC}=2\widehat{B}$ και οι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε

1) Βρείτε (ή ..ποντάρετε) αν ο αριθμός $m=\dfrac{200\left ( BAC \right )}{111\left ( ABE \right )}$ είναι πάνω ή κάτω από την μονάδα.

2) Να εξεταστεί αν οι είναι διαδοχικοί όροι ...;... προόδου .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο!

: Πάνω ή κάτω..png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

1) $\displaystyle \widehat A = 2\widehat B \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + bc$ και από τη Γ. Π είναι c^2=a^2-ab.

Έχουμε λοιπόν:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} (a - b)(a + b) = bc\\ a(a - b) = {c^2} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \div$ $\boxed{\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{b}}$ (1)

Από την

παίρνω $\displaystyle a = \frac{{bc}}{{b - c}}$ και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση του συστήματος έχω:

$\displaystyle \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{{(b - c)}^2}}} = {b^2} + bc \Leftrightarrow {\left( {\frac{c}{b}} \right)^3} - 2{\left( {\frac{c}{b}} \right)^2} - \frac{c}{b} + 1 = 0,$ απ' όπου παίρνω με λογισμικό τη δεκτή ρίζα $\boxed{\frac{c}{b} \simeq 0.55496}$

$\displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(ABE)}} = \frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{b} \Leftrightarrow \frac{{200(BAC)}}{{111(ABE)}} = \frac{{200}}{{111}} \cdot \frac{c}{b} \simeq 0.99992.$ Άρα $\boxed{m<1}$

2) Από την (1),

$\displaystyle ab = bc + ac \Leftrightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{2}{{2c}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b},$ άρα οι a, 2c, b

είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 19, 2018 12:56 am
Χαιρετώ. Ας επαναφέρω το θέμα θέτοντας ακόμη ένα ζητούμενο :
Να εξεταστεί αν τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

$\displaystyle \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {a^2} + ab}}{{2ab}} = \frac{{a + b}}{{2a}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{b}{{2c}} = \frac{{\sin B}}{{2\sin C}} \Leftrightarrow \sin 2C = \sin B \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat B=2\widehat C}$

Είναι λοιπόν, $\displaystyle {B^2} = 4{C^2} = 4C \cdot C = A \cdot C,$ που σημαίνει ότι τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Γιώργος Μήτσιος

Καλημέρα. Γιώργο σ' ευχαριστώ πολύ για την θαυμάσια αντιμετώπιση και του παρόντος !
Η βασική διαφορά στην δική μου λύση είναι ότι βρίσκω από την αρχή τα μέτρα των γωνιών του ABC

.

Πράγματι έχουμε $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi ...\widehat{A}=2\widehat{B}$ και από τη Γ.Π προκύπτει

$a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=\pi/2+\widehat{C}/2$ (*) (αποδείξεις αυτής ΕΔΩ).

Η λύση του συστήματος μας δίνει $\widehat{A}=4\pi /7...\widehat{B}=2\pi /7...\widehat{C}=\pi /7$ (φανερό ότι είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π)

Ας γράψω λίγα για την δημιουργία του λόγου

. Η σχέση

με οδήγησε στον λόγο $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ABE \right )}=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{b}$ που γίνεται $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ABE \right )}=\dfrac{sinC}{sinB}=\dfrac{1}{2cos\pi /7}$ .

Στη συνέχεια αναζήτησα ρητό αρκετά κοντά στο $cos\pi /7$ και προτίμησα τον 100/111

.
Σκοπός ήταν ..

.. η "'σύσφιξη σχέσεων" που βλέπουμε του αριθμού

με την μονάδα..

Η πρόταση (*) θα έλεγα πως είναι χρήσιμη και στο -εν αναμονή- θέμα τούτο

Φιλικά Γιώργος.

Πάνω ή κάτω ;

Πάνω ή κάτω ;

Re: Πάνω ή κάτω ;

Re: Πάνω ή κάτω ;

Re: Πάνω ή κάτω ;

Μέλη σε σύνδεση