Πάνω ή κάτω ;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Πάνω ή κάτω ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Απρ 10, 2018 12:02 am

Χαιρετώ! Προσωπική σύνθεση.
Πάνω ή κάτω ;.PNG
Πάνω ή κάτω ;.PNG (4.4 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει πλευρές  a,b,c . Στην προέκταση της BC παίρνουμε  CE=AC .

Αν \widehat{BAC}=2\widehat{B} και οι  a, c, a-b είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε

1) Βρείτε (ή ..ποντάρετε) αν ο αριθμός m=\dfrac{200\left ( BAC \right )}{111\left ( ABE \right )} είναι πάνω ή κάτω από την μονάδα.

2) Να εξεταστεί αν οι  a, 2c, b είναι διαδοχικοί όροι ...;... προόδου .


Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Πάνω ή κάτω ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μάιος 19, 2018 12:56 am

Χαιρετώ. Ας επαναφέρω το θέμα θέτοντας ακόμη ένα ζητούμενο :
Να εξεταστεί αν τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου ABC είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου
και συμπληρώνοντας την λέξη που λείπει στο ζητούμενο :
Να εξεταστεί αν οι a, 2c, b είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6761
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πάνω ή κάτω ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 22, 2018 10:18 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Απρ 10, 2018 12:02 am
Χαιρετώ! Προσωπική σύνθεση.
Πάνω ή κάτω ;.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει πλευρές  a,b,c . Στην προέκταση της BC παίρνουμε  CE=AC .

Αν \widehat{BAC}=2\widehat{B} και οι  a, c, a-b είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε

1) Βρείτε (ή ..ποντάρετε) αν ο αριθμός m=\dfrac{200\left ( BAC \right )}{111\left ( ABE \right )} είναι πάνω ή κάτω από την μονάδα.

2) Να εξεταστεί αν οι  a, 2c, b είναι διαδοχικοί όροι ...;... προόδου .


Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο!
Πάνω ή κάτω..png
Πάνω ή κάτω..png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
1) \displaystyle \widehat A = 2\widehat B \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + bc και από τη Γ. Π είναι c^2=a^2-ab. Έχουμε λοιπόν:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
(a - b)(a + b) = bc\\ 
a(a - b) = {c^2} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \div  \boxed{\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{b}} (1)

Από την (1) παίρνω \displaystyle a = \frac{{bc}}{{b - c}} και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση του συστήματος έχω:

\displaystyle \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{{(b - c)}^2}}} = {b^2} + bc \Leftrightarrow {\left( {\frac{c}{b}} \right)^3} - 2{\left( {\frac{c}{b}} \right)^2} - \frac{c}{b} + 1 = 0, απ' όπου παίρνω με λογισμικό τη δεκτή ρίζα \boxed{\frac{c}{b} \simeq 0.55496}

\displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(ABE)}} = \frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{b} \Leftrightarrow \frac{{200(BAC)}}{{111(ABE)}} = \frac{{200}}{{111}} \cdot \frac{c}{b} \simeq 0.99992. Άρα \boxed{m<1}

2) Από την (1), \displaystyle ab = bc + ac \Leftrightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{2}{{2c}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, άρα οι  a, 2c, b είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Μάιος 19, 2018 12:56 am
Χαιρετώ. Ας επαναφέρω το θέμα θέτοντας ακόμη ένα ζητούμενο :
Να εξεταστεί αν τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου ABC είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου
\displaystyle \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {a^2} + ab}}{{2ab}} = \frac{{a + b}}{{2a}}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{b}{{2c}} = \frac{{\sin B}}{{2\sin C}} \Leftrightarrow \sin 2C = \sin B \Leftrightarrow \boxed{\widehat B=2\widehat C}

Είναι λοιπόν, \displaystyle {B^2} = 4{C^2} = 4C \cdot C = A \cdot C, που σημαίνει ότι τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Πάνω ή κάτω ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Μάιος 23, 2018 1:31 am

Καλημέρα. Γιώργο σ' ευχαριστώ πολύ για την θαυμάσια αντιμετώπιση και του παρόντος !
Η βασική διαφορά στην δική μου λύση είναι ότι βρίσκω από την αρχή τα μέτρα των γωνιών του ABC.

Πράγματι έχουμε \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi ...\widehat{A}=2\widehat{B} και από τη Γ.Π προκύπτει

a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=\pi/2+\widehat{C}/2 (*) (αποδείξεις αυτής ΕΔΩ).

Η λύση του συστήματος μας δίνει \widehat{A}=4\pi /7...\widehat{B}=2\pi /7...\widehat{C}=\pi /7 (φανερό ότι είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π)

Ας γράψω λίγα για την δημιουργία του λόγου m. Η σχέση ab=(a+b)c

με οδήγησε στον λόγο \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ABE \right )}=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{b} που γίνεται \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ABE \right )}=\dfrac{sinC}{sinB}=\dfrac{1}{2cos\pi /7}.

Στη συνέχεια αναζήτησα ρητό αρκετά κοντά στο cos\pi /7 και προτίμησα τον 100/111.
Σκοπός ήταν .. :) .. η "'σύσφιξη σχέσεων" που βλέπουμε του αριθμού m με την μονάδα..

Η πρόταση (*) θα έλεγα πως είναι χρήσιμη και στο -εν αναμονή- θέμα τούτο

Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης